25. Средняя гармоническая
Если по условию задачи необходимо, чтобы неизменной оставалась при осреднении сумма величин, обратных индивидуальным значениям признака, то средняя величина является гармонической средней:
Все рассмотренные виды средних величин принадлежат к общему типу степенных средних. Различаются они лишь показателем степени:
где
k –
показатель степени.
При k = 1 получаем арифметическую среднюю, при k = 2 –квадратическую, при k = 3 – кубическую, при k = 0 – геометрическую, при k = –1 – гармоническую среднюю.
26. Мода и медиана
Для характеристики среднего значения признака в вариационном ряду используются показатели центра распределения, к которым, кроме средней арифметической величины, относятся мода и медиана. Также существуют другие показатели, характеризующие структуру вариационного ряда.Мода – значение признака, наиболее часто встречающееся в исследуемой совокупности. Для дискретных вариационных рядов модой будет значение варианта с наибольшей частотой. Для интервальных вариационных рядов мода определяется по формуле:
где
хМо– нижняя
граница значения интервала, содержащего
моду; iМо–
величина
модального интервала; fМо–
частота
модального интервала, т.е. интервала,
имеющего наибольшую частоту; fМо-1
–частота
интервала, предшествующего модальному,
fМо+1 – частота
интервала, следующего за модальным.
Медиана –
значение признака, приходящееся на
середину ранжированной (упорядоченной)
совокупности, делящее ее на две равные
части. Вычисление медианы в дискретных
рядах распределения имеет специфику.
Если такой ряд распределения имеет
нечетное число членов, то медианой будет
вариант, находящийся в середине
ранжированного ряда. Если ранжированный
ряд распределения состоит из четного
числа членов, то медианой будет средняя
арифметическая из двух значений признака,
расположенных в середине ряда. Медиана
интервального ряда распределения
определяется по формуле
где
xMе – нижняя
граница значения интервала, содержащего
медиану; iМе–
величина медианного интервала; –
сумма частот;
SМе-1 – сумма
накопленных частот, предшествующих
медианному интервалу; fМе
– частота
медианного интервала. Аналогично с
нахождением медианы в вариационных
рядах можно отыскать значение признака
у любой по порядку единицы ранжированного
ряда. Например, можно найти значение
признака у единиц, делящих ряд на четыре
равные части, десять или сто частей. Эти
величины называются квартили, децили
и перцентили. Остановимся на расчете
показателей децилей, нашедших широкое
применение в анализе дифференциации
различных социально-экономических
явлений.
27 Вариации
Природа социально-экономических явлений такова, что они обладают свойством изменчивости. Это и обусловливает необходимость в проведении статистического анализа. Если бы данные не изменялись, то не было бы необходимости собирать, обобщать и анализировать данные о множестве явлений, т.е., проще говоря, применять статистические методы. Там, где присутствует изменчивость данных, существует и риск, поскольку невозможно предугадать, что произойдет в будущем. Для того чтобы управлять риском, необходимо уметь измерять изменчивость, или вариацию. Вариацией называется различие значений признака у разных единиц совокупности в один и тот же период или момент времени. Первым этапом изучения вариации является построение вариационного ряда – упорядоченного распределения единиц совокупности по возрастающим или убывающим значениям признака и подсчет числа единиц с тем или иным значением. Вариационный ряд – это ряд распределения, построенный по количественному признаку. Ряд распределения, построенный по атрибутивному признаку, называется атрибутивным. Существуют три формы вариационного ряда: ранжированный, дискретный и интервальный. Ранжированный ряд – это перечень единиц совокупности в порядке возрастания (убывания) значений изучаемого признака. Например, список предприятий, расположенных в порядке возрастания уровня рентабельности каждого предприятия.Дискретный вариационный ряд – это таблица, состоящая из двух строк или граф: конкретных значений признака и числа единиц совокупности, имеющих то или иное значение. Например, распределение студентов группы по результатам экзамена: Интервальный вариационный ряд – это таблица, состоящая из двух строк или граф: интервалов значений признака и числа единиц совокупности, попадающих в данный интервал (частот). На графике дискретный вариационный ряд изображается в виде полигона распределения, а интервальный – в виде гистограммы (столбиковой диаграммы). Для характеристики среднего значения признака в вариационном ряду используются показатели центра распределения, к которым, кроме средней арифметической величины, относятся мода и медиана. Также существуют другие показатели, характеризующие структуру вариационного ряда.