Контрольные вопросы и упражнения
-
Какое уравнение называется дифференциальным? Что называется порядком дифференциального уравнения?
-
Какое решение дифференциального уравнения называется общим и какое — частным? Каков их геометрический смысл?
-
Определите порядок указанных ниже дифференциальных уравнений. Сколько независимых произвольных постоянных должно входить в общие решения этих уравнений?
-
Показать, что функция
есть решение
уравнения
. -
Решите задачу Коши:
;
y
= 4, при x
= -2.
Существует еще одна причина высокой репутации математики: именно математика дает...наукам определенную меру уверенности в выводах, достичь которой без математики они не могут.
А. Эйнштейн
9. Основы теории вероятностей и математической статистики
Теорию вероятностей можно определить как раздел математики, в котором изучаются закономерности, присущие массовым случайным явлениям. Методы теории вероятностей широко применяются при математической обработке результатов измерений, а также экономике, статистике, страховом деле, массовом обслуживании.
Математическая статистика — это наука, занимающаяся разработкой методов сбора, регистрации и обработки результатов наблюдений (измерений) с целью познания закономерностей случайных массовых явлений.
Первые работы, в которых зарождались основные понятия теории вероятностей, представляли собой попытки создания теории азартных игр (Б. Паскаль, П. Ферма, X. Гюйгенс). Следующий этап развития связан с именем Я. Бернулли. Дальнейшими успехами теория вероятностей обязана А. Муавру, П. Лапласу, К. Гауссу, С. Пуассону и др. Наиболее плодотворный период связан с именами П. Чебышева и его учеников А. Маркова и А. Ляпунова, последующее развитие с именами С. Бернштейна, А. Хинчина, А. Колмогорова, В. Романовского, Н. Смирнова, Б. Гнеденко и др.
Концепция детерминированного подхода к явлениям окружающего мира долгое время преобладала как в организации научных исследований, так и в представлении их результатов. В основе этой концепции лежит механистическое представление о том, что при сохранении неизменными внешних условий, повторении некоторых определенных действий неизбежно можно прийти к прежнему результату. Эксперимент называется детерминированным, если его повторение не приводит к новым результатам. В противном случае, если повторение эксперимента приводит к другому результату, эксперимент называется случайным. Такое название связано с тем, что типичными экспериментами, в которых имеет место указанное явление (повторные действия могут давать разные результаты), являются эксперименты, заключающиеся в подбрасывании монеты или игрального кубика, раздачи колоды карт и т.п. В каждом из них мы сталкиваемся с неоднозначностью результата эксперимента. Так, монета может упасть вверх «гербом» или «решкой»,- а кубик — любой из шести граней, причем невозможно заранее предугадать, что конкретно произойдет при подбрасывании. Поэтому говорят, что результат зависит от случая, отсюда и название эксперимента.
Задача теории вероятностей заключается в построении вероятностных моделей случайных экспериментов. Вероятностная модель позволяет придать строгий математический смысл таким словам, как «случайность», «событие», «вероятность», «правдоподобный» и т.п., и оценить шансы на появление различных результатов, возможных в данном случайном эксперименте.
Конечно, надо отдавать себе отчет в том, что, как всякая модель, и вероятностная модель тоже, является некоторой идеализацией описываемого эксперимента — она не предназначена для воспроизведения всех деталей, а воплощает лишь основные черты явления. В частности, при подбрасывании монеты мы предполагаем, что результатом эксперимента не может быть пропажа монеты или приземление ее на ребро. Кроме того, чрезвычайно важным в теории вероятностей является предположение о принципиальной возможности многократного повторения случайного эксперимента. Если такой возможности нет, то построение вероятностной модели не имеет смысла. Можно сказать, что конкретная информация о самых разных ситуациях, которые могут возникнуть в данном случайном эксперименте, содержащаяся в вероятностной модели, «разворачивается» лишь при многократном повторении этого эксперимента. Так, можно утверждать, что если подбросить «правильную» монету 1000 раз, то число выпадений герба будет мало отличаться от 500.