1.2. Математический язык: особенность, становление и развитие

Математика подобно любой науке многомерна. На когнитивном уровне она выступает как мышление, на перцептуальном -- как чувствование, на лингвистическом -- как язык. Лингвистическое измерение математики заслуживает особого рассмотрения. Дело в том, что лишь благодаря ему математике придается интерсубъективный, общезначимый для всех людей характер. Мышление и чувствование всегда индивидуально. Язык же является достоянием всех.

Как известно, язык — это система условных знаков, принятых в некотором сообществе и обеспечивающая коммуникацию его членов. Язык математики удовлетворяет этому определению. Подобно любому языку он состоит из совокупности высказываний (предложений). Особенность математического языка заключается в том, что в нем широко используются математические символы, объединяемые формулой. Учитывая это, часто говорят, что математика — это язык символов и формул. Впрочем, язык математики не сводится к символьным записям и утверждениям. В любом математическом труде используются такие слова и обороты речи, позаимствованные из естественных языков: «предположим, что...», «и будем исходить из следующих аксиом», «математика — это наука о...» и т.п. Но в контексте математики этим словам и оборотам речи придается специфическое значение, которое сопрягается со смыслом формализованных утверждений.

Язык математики — это язык людей, имеющих дело с математическими структурами. В одних случаях речь идет непосредственно об этих структурах, в других на их основе разрешаются те или иные конкретные ситуации.

Язык математики часто сравнивают с естественным языком. При этом, как правило, в восторженных тонах дается характеристика одного из них. Следует учитывать, что речь идет о различных языках. В случае математических структур для их описания необходим язык математики; на его фоне естественный язык громоздок и двусмыслен. В житейских ситуациях естественный язык имеет преимущества перед математическим языком и ясно почему: здесь можно обойтись без детальных знаний о математических структурах. Естественный язык не нуждается в его замене математическим языком. Существенно другое — не усвоивший язык математики не воспользовался благоприятнейшей возможностью своего личного развития. Самое интересное состоит в том, что в общении друг с другом людям то и дело приходится переходить с естественного языка на язык математики и обратно. С различными языковыми переходами связаны также междисциплинарные функции математики.

До тех пор пока исследователь находится в пределах чистой математики он обходится математическим языком. При это ему нет нужды обращаться к каким либо другим языкам. Ситуация редко изменяется, когда строятся так называемые математические модели тех или иных (физических, биологических, социальных и т.д. явлений). Математические модели строятся из терминов, интерпретированных на конкретную объектную область, являющуюся предметом той или иной конкретной науки. Использование математических моделей переводит чистую математику в прикладную. Например, рассуждая о евклидовой геометрии, мы пользуемся языком геометрии. В случае обсуждения свойств физического макропространства на основе ньютоновской механики используется язык механики, а не математики. Если речь заходит о евклидовской модели физического пространства, то приходится, устанавливая соответствие между геометрией и механикой, одновременно использовать два языка, математический и физический.

Итак, в математике как таковой используется математический язык. В конкретной науке используется язык данной науки (в физике — язык физики, в экономике — язык экономики). В прикладной математике, т.е. в случае математических моделей, используются два языка: математический язык плюс язык конкретной науки.

Как же устроен математический язык? Прежде всего язык абстрактный, в противоположность нашим конкретным языкам, где каждое слово имеет конкретное значение. Язык математических формул и знаков обладает большей универсальностью и используется во всех сферах человеческой деятельности. Система математических знаков является достоянием всего человечества, она вырабатывалась на протяжении тысячелетий. Математический язык — это результат совершенствования естественного языка по различным направлениям: устранение громоздкости и двусмысленности естественного языка, расширение его выразительных возможностей. Он употребляется как средство выражения математической мысли.

Язык в широком смысле — это словарь, грамматика, рассказы, повести, пьесы и романы, написанные на этом языке. Что же в математическом языке является аналогом слов и грамматики, а что — рассказов и повестей? Аналог слов и грамматики — математическая операционная система, а рассказов, повестей и прочего « математические модели (рис. 1).

Рис. 1

Овладение математическим языком предполагает сознательное усвоение содержания математических понятий, отношений между ними (аксиом, теорем) и умение рационально и грамотно выразить математическую мысль в устной и письменной форме с помощью средств математического языка, а также свободное оперирование математическими знаниями, умениями и навыками на практике.

Овладение математическим языком формирует навыки рационального выражения мысли; последовательность, точность, ясность, лаконичность, выразительность, экономность, информированность. Сознательное и свободное владение математическим языком является условием и средством овладения математической культурой (рис. 2).

Рис. 2

Недостатки языка:

• специфичность;

• ограниченная возможность отображения.

Достоинства языка:

• • позволяет с помощью символов выражать мыслительные операции в сокращенном и свернутом виде;

• • отличается большой прогностической силой.

Множество абстрактных элементов и действий с ними образует то, что можно назвать операционной системой: элементы — это числа, векторы, функции, матрицы...; действия (операции) — сложение, вычитание, умножение, деление, дифференцирование, интегрирование...

У операционной системы есть четкие внутренние побудительные мотивы развития и цели: это расширение и выполнимость операций, охват всего, что мы хотим описать. Проиллюстрируем эти мотивы на примере истории становления и развития математической операционной системы. При этом будем придерживаться не хронологии событий, а логики их следования.

Все начиналось с целых чисел. Затем возникли действия с ними: сложение и обратное действие — вычитание; умножение и деление. Невыполнимость деления была преодолена введением дробных чисел, вычитания — отрицательных чисел.

Действительные числа — камень преткновения древних греков — получили обоснование, успокоившее математиков, только в сечениях рациональных чисел Дедекинда и сходящихся их последовательностей Вейерштрасса. Так пришли к действительным числам, с которыми выполнимы операции сложения, вычитания, умножения, деления, нахождения предела, которые обозначаются соответственно знаками «+», «—», «х», «:», «lim» (исключения с делением на нуль и пределом неограниченно возрастающей последовательности не в счет: на то и исключения, хотя и их избегают в так называемом нетрадиционном математическом анализе).

После действительных чисел появились комплексные - как замыкание операции решения квадратных уравнений. С их введением любое алгебраическое уравнение стало разрешимым. Затем Гамильтон (1805-1865) придумал кватернионы как расширение комплексных чисел. Они не привились, но их частный случай — векторы и действия с ними (сложение, вычитание, скалярное и векторное произведения) вошли в широкий обиход математики.

Потребность в описании эволюционных процессов изменения привела к появлению переменных величин, а затем и функций от них, дифференциального и интегрального исчислений, дифференциальных уравнений.

Возникли множества и действия с ними (объединение, пересечение, дополнение, произведение) и многое-многое другое.

Как общий прием расширения операционной системы, помимо отмеченного уже расширения для выполнимости операций, можно указать перевод функций как операций в элементы, операций над функциями-элементами опять в элементы, с которыми, в свою очередь, также можно производить операции. Так операционная система пополнилась современным функциональным анализом и теорией операторов, причем операционная система обрела, исходя из своих внутренних законов развития, теорию линейных операторов раньше, чем она потребовалась физике для описания явлений микромира.

Помимо принципиальной выполнимости операций, огромное значение имеет фактическая выполнимость, простота и доступность этой выполнимости. Так, древние греки с трудом вычисляли произведение, например, наших чисел 473 и 328 потому, что записывали их в виде CDLXXIII и CCCXXVIII.

Оливер Хевисайд (1850—1925), не признанный современниками, сделал операцию интегрирования легко выполнимой и сводимой к делению на комплексное число. Это позволило ему решить очень много задач, не решенных ранее. Хевисайд был великим ученым: предсказал наличие в верхних слоях атмосферы ионизированного слоя, отражающего радиоволны; подсчитал излучение движущегося электрона; указал формулу, известную в науке как знаменитая формула Эйнштейна.

Современные ЭВМ и методы вычислений и программирования в обсуждаемом плане следует рассматривать как новые, эффективные средства реализации трудных операций математической операционной системы.