- •Рабочая программа дисциплины Математика 2
- •1. Цели освоения дисциплины
- •2.Место дисциплины в структуре ооп бакалавриата
- •3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины «Математика 2»:
- •4. Структура и содержание дисциплины «Математика 2»
- •Раздел 1. Множества и функции.
- •Раздел 3. Интегралы и ряды.
- •Раздел 4. Функции нескольких переменных и дифференциальные уравнения.
- •5. Образовательные технологии
- •6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов
- •7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины «Математика»
- •8. Материально-техническое обеспечение дисциплины «Математика»
Раздел 4. Функции нескольких переменных и дифференциальные уравнения.
Функции нескольких переменных. Функции двух переменных, их геометрическое изображение, линии уровня. Окрестность точки на плоскости. Расстояние между двумя точками на плоскости.Непрерывность функции двух переменных. Частное и полное приращение функции.
Непрерывность функции в точке и в области. Частные производные первого порядка. Геометрический смысл частных производных первого порядка. Полный дифференциал функции двух переменных. Теорема о связи дифференцируемости и непрерывности функции двух переменных. Теорема о представлении полного дифференциала. Достаточное условие дифференцируемости. Частные производные высших порядков. Теорема о независимости значения производной от порядка дифференцирования. Признак полного дифференциала. Экстремум функции двух переменных, точки экстремума. Необходимое условие экстремума. Критические точки. Достаточное условие экстремума. Условный экстремум.Применение частных производных в экономике.
Дифференциальные уравнения. Дифференциальное уравнение, его порядок. Решение дифференциального уравнения. Общее и частное решение дифференциального уравнения, интегральная кривая. Дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения первого порядка, нормальная форма. Задача Коши, начальные условия. Теорема о существовании и единственности задачи Коши. Уравнения с разделяющимися переменными. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Однородные уравнения. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Общие понятия. Задача Коши. Теорема о представлении общего решения. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Общие понятия. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами второго порядка. Характеристическое уравнение. Линейно зависимые решения. Теорема о представлении общего решения линейного однородного уравнения второго порядка. Дифференциальные уравнения в экономике.
|
Вопросы и задачи для самостоятельной работы 1. Пусть даны два множества:
Найти . 2. Даны два множества: . Какое из них является подмножеством другого? 3. Из сегмента[-3, 5] удален интервал (-3, 5). Что осталось? 4. Какова наибольшая окрестность нуля, содержащаяся в промежутке [-6, 5]? 5.Указать на числовой оси множества, заданные неравенствами: . 6. Какие значения удовлетворяют одновременно неравенствам ? 7. Дана функция . Найти . 8. Дана функция . Доказать, что 9. Построить график функции
10. Найти область определения функций:
11. Какие из данных функций являются четными, какие нечетными: . |
|
|
|
|
|
|
|
12. Пользуясь определением предела числовой последовательности на языке
«», доказать, что последовательность - бесконечно
малая. Каково должно быть N, если ?
13. Является ли последовательность сходящейся?
14. Какие из точек x = - 2, x = 3, x = 5, x = 5,2 являются
предельными точками множества ?
15. Является ли функция бесконечно малой
при ?
-
Определить существует ли предел следующих функций:
при ;
при .
17. Непрерывна ли функция на [-2,2]?
18. Почему можно утверждать, что функция
непрерывна на множестве R?
19. Установить, в каких точках и какого рода разрывы имеют
следующие функции:
,
.
20. Доопределить функцию в точке х=0 таким образом,
чтобы она стала непрерывной в этой точке.
21. Найти точки разрыва функции . Построить график этой
функции.
22.Можно ли утверждать, что квадрат разрывной функции есть также
разрывная функция? Проверить это на примере .
-
Пользуясь определением производной, найти производные
следующих функций:
-
;
-
;
-
.
24. На параболе есть такая точка, в которой касательная наклонена к положительному направлению оси ОХ под углом 600. Найти эту точку. Составить уравнение касательной.
25. Найти дифференциалы следующих функций:
-
,
-
,
-
.
26. Найти приближенно значение функций:
-
при х = 3,015;
-
при х = 1,001.
-
На сколько уменьшится величина степени 34, если основание
уменьшится на 0,0063?
-
Показать, что функция не является дифференцируемой
в точке х = 0.
-
Убедиться, что , но он не может быть вычислен
с помощью правила Лопиталя. Почему?
-
В формуле Лагранжа о конечном приращении функции
определить значение с: на отрезке [0,2].
-
Можно ли на отрезке [-1,1] применить к функции
теорему Роля; теорему Лагранжа?
-
Доказать тождество при .
-
Может ли значение функции в точке локального максимума
быть меньше значения функции в точке локального минимума?
-
Может ли монотонная функция иметь экстремум?
-
Может ли функция иметь экстремум в точке, в которой она
имеет перегиб?
-
Может ли иметь асимптоты и какие график ограниченной
функции?
-
Может ли иметь асимптоты и какие график функции, заданной
на ограниченном промежутке?
-
При каких значениях a и b точка (1;3) является точкой
перегиба графика функции ?
-
Исследовать сходимость знакопостоянных рядов:
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
h) .
-
Решить дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными:
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
.
-
Решить задачу Коши для дифференциального уравнения:
.
42.Определить порядок дифференциального уравнения:
а) ;
b) ;
c) .
43.Найти дифференциальное уравнение, для которого функция
является общим решением.
44. Найти дифференциальное уравнение , для которого функция является общим решением.
45. Найти дифференциальное уравнение , для которого функция является общим решением.
46. Дано общее решение дифференциального уравнения.
. Найти частные решения в случае:
а) ;
b) ;
c) .
47. Решить линейные однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
а);
b) ;
c) .
48. Решить неоднородные линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
a) ;
b) ;
c) ;
d);
e) ;
f) ;
g) .
49. Решить задачу Коши:
a) (0,0);
b) (1,5);
c) (,1);
d) (0,1);
e) (-1,1;
f) (,1).
50. Показать, что заданная функция является решением (общим решением) дифференциального уравнения:
a) : .
b) : .
51. Является ли функция общим решением дифференциального уравнения?
a): ;
b) : ;
c) : .