- •010400.62 «Прикладная математика и информатика»
- •Введение
- •§1. Классификация интегральных уравнений
- •§2. Задачи, приводящие к интегральным уравнениям Вольтерра
- •Задача o таутохроне
- •Задачи Коши для дифференциальных уравнений первого порядка
- •3.Задача Коши для линейных уравнений высших порядков
- •4.Краевые задачи для дифференциальных уравнений
- •§3 Интегральные уравнения Вольтера как частный случай уравнений Фредгольма
- •§4. Решение интегральных уравнений Вольтерра методом дифференцирования
- •§5. Решение интегральных уравнений с помощью степенных рядов
- •§6. Решение интегральных уравнений Вольтерра методом последовательных приближений
- •Уравнение второго рода
- •Уравнения первого рода
- •§7. Интегральные уравнения Вольтерра с вырожденными ядрами
- •Уравнения Вольтерра второго рода
- •Уравнения Вольтерра первого рода
- •§8. Решение уравнений Вольтерра второго рода с помощью ряда Неймана
- •§9. Итерированные ядра и резольвента интегральных уравнений Вольтерра
- •!!!§10. Решение уравнений Вольтерра с разностными ядрами с помощью преобразования Лапласа
- •§11. Задачи для самостоятельного решения
- •Литература
- •Содержание
§9. Итерированные ядра и резольвента интегральных уравнений Вольтерра
В полученных выражениях (8.3) коэффициентов ряда Неймана последовательно произведем подстановку в, затем в и так далее, сменив обозначения переменных
.
.
В кратных интегралах изменим порядок интегрирования в соответствии с ниже изображенной областью интегрирования
S
S=t
x
а
0
t
x
а
.
Как и для интегральных уравнений Фредгольма, приняв за первое итерированное ядро данное ядро, за второе итерированное ядро примем
тогда
.
Аналогично найдем
где
……………………………………………………………………….. (9.1)
где
(9.2)
…………………………………… .
Подставим полученные выражения коэффициентов , в соответствии с полученными формулами (9.1), в ряд (8.2) и, в силу равномерной и абсолютной сходимости этого ряда, можем просуммировать интегралы
Выражение в квадратных скобках назовем резольвентой интегрального уравнения Вольтерра второго рода и для нее введем обозначение
(9.3)
Если итерированные ядра найдены, а следовательно и резольвента, то решение интегрального уравнения Вольтерра (8.1) определится по формуле
. (9.4)
Аналогично, группируя интегралы попарно в формулах (9.1) для коэффициентов начиная с последней пары, для итерированных ядер получим другую формулу
n=2,3,… . (9.5)
В формулу резольвенты (9.3) подставив выражения итерированных ядер (9.2)
получим интегральное уравнение резольвенты
(9.6)
Если в формулу резольвенты (9.3) подставить выражения итерированных ядер (9.5), то получим другое интегральное уравнение резольвенты
. (9.7)
Пример 10. Построить резольвенту ядра K(x,t) = x – t .
Решение. По формулам (9.2) находим итерированные ядра
…………..,
и по индукции выписываем
…………. .
Затем по формуле (9.3) находим резольвенту
Пример 11. Вычислив итерирование ядра и резольвенту, найти решение уравнения
.
Решение. Положив , выпишем ядро
.
Далее по формулам (9.2) найдём
,
,
…………………………………………………………………….. .
По индукции выпишем n-ое итерированное ядро
и по формуле (9.3 ) найдём резольвенту
.
Решение интегрального уравнения получим по формуле (9.4)
Ответ:
Нетрудно проверить что найденная функция является решением исходного уравнения
!!!§10. Решение уравнений Вольтерра с разностными ядрами с помощью преобразования Лапласа
Преобразование Лапласа для произвольной (комплекснозначной) функции действительного переменного определяется следующим образом:
(10.1)
где – комплексная переменная.
Функция называется оригиналом, а –изображением (образом) функции .
Преобразование Лапласа существует для непрерывных и кусочно-непрерывных функций, удовлетворяющих условию , где - некоторые числа. Далее считаем, что в указанной оценке взято наименьшее из возможных чисел , которое называется показателем роста функции f(x).
Для всякого оригинала f(x) функция определена в полуплоскости и является в этой полуплоскости аналитической функцией.
Формулу (10.1) кратко будем записывать так:
По известному изображению оригинал находится с помощью обратного преобразования Лапласа
(10.2)
где путь интегрирования расположен параллельно мнимой оси комплексной плоскости справа от всех особых точек функции f(p),что соответствует .
Интеграл в (10.2) понимается в смысле главного значения
Формула (10.2) справедлива для непрерывных функций. В отрицательной области формула (10.2) даёт .
Если в точке , функция f(x)имеет конечный разрыв первого рода, то правая часть формулы (10.2) в этой точке дает значение (при первый член в квадратных скобках должен быть опущен).!!!
Формулу обращения преобразования Лапласа (10.2) кратко будем записывать так:
Сверткой (по Лапласу) двух функций f(x) и называется выражение
!!!
Справедлива теорема о свертке:
которая часто используется при решении уравнений Вольтерра с разностным ядром [2]. [20], [33].
Уравнения Вольтерра второго рода с ядром, зависящим от разности аргументов, имеют вид
(10.3)
Применяя преобразование Лапласа £ к уравнению (10.3) и учитывая, что интеграл с ядром, зависящим от разности аргументов, по теореме о свертке преобразуется в произведение приходим к уравнению для образа искомой величины
(10.4)
Решение уравнения (10.4) определяется формулой
(10.5)
которую можно записать в эквивалентном виде
(10.6)
Применяя к (10.6) обратное преобразование Лапласа, получим решение уравнения (10.3) в виде
(5)
где
При использовании формулы (10.7) могут возникнуть технические трудности:
1°. При получении изображения для конкретного ядра
2°. При нахождении оригинала резольвенты (10.7), изображение которого находится по формуле (10.6).
Для вычисления соответствующих интегралов применяют таблицы прямых и обратных преобразований Лапласа, причем во многих случаях для обратного преобразования используют методы теории функций комплексного переменного, включая теорему о вычетах.
Замечание. Если нижний предел в интеграле уравнения Вольтерра с ядром, зависящим от разности аргументов, равен , то его можно свести к уравнению вида (10.3) с помощью замены
На рисунке приведена принципиальная схема решения интегральных уравнений Вольтерра второго рода с разностным ядром с помощью интегрального преобразования Лапласа.
Схема решения интегральных уравнений Вольтерра второго рода с разностным ядром с помощью интегрального преобразования Лапласа, –оригинал функции
.
Преобразование Лапласа можно применить для решения систем интегральных уравнений Вольтерра вида
Подействуем на систему преобразованием Лапласа. Тогда будем иметь
Решая эту систему линейных алгебраических уравнений, определим , и решение рассматриваемой системы примет вид [2], [20]
Пример 12. Рассмотрим уравнение
которое является частным случаем уравнения (10.3)
Сначала, используя таблицы преобразований Лапласа, получим образ ядра интегрального уравнения в виде
Затем по формуле (10.6) найдем образ резольвенты
Используя далее таблицы обратных преобразований Лапласа, получим оригинал резольвенты
Заметим, что в частном случае при получаем Подставляя эти выражения в формулу (10.7), находим решение интегрального уравнения. В частности, при это решение имеет вид [20]
Пример 13. Решить интегральное уравнение:
Решение. Известно, что
Пусть. Применяя преобразование Лапласа к обеим частям уравнения и учитывая при этом теорему умножения (изображения свертки), получим
Отсюда
или
Следовательно, решение данного интегрального уравнения есть