Элементы теории вероятностей

Под событием будем понимать некоторое явление, которое происходит или не происходит в данном опыте.

Например, опыт – «подбрасывание монеты».

Явление в нем – выпадение числа или герба.

Событие – выпадение числа (герба).

Различные события обозначают заглавными буквами латинского алфавита

A, B, C, D, …

Событие называют достоверным, если оно непременно должно произойти.

Например, опыт – «подбрасывание игральной кости».

Достоверное событие – выпадение не более 6 очков.

Событие называют невозможным, если оно заведомо не наступит никогда.

Например, опыт – «подбрасывание игральной кости».

Невозможное событие – выпадение 9 очков.

Пусть А – некоторое событие.

Событием, противоположным событию А, называют событие Ā, которое состоит в том, что А не происходит.

Например, опыт – «подбрасывание монеты».

А – выпадение числа.

Ā – выпадение герба.

События А и В называются несовместными, если наступление одного из них исключает наступление другого.

Например, опыт – «подбрасывание игральной кости».

А – выпадение четного числа очков.

В – выпадение нечетного числа очков.

Пусть А, В, С, …, Е – некоторая совокупность событий. Эти события называются единственно возможными, если в результате каждого опыта хотя бы одно из них наверняка наступит. Эти события образуют полную группу событий.

Например, опыт – «подбрасывание игральной кости».

А – выпадение 1.

В – выпадение 2.

С – выпадение 3. - это полная группа событий.

D – выпадение 4.

E – выпадение 5.

F – выпадение 6.

Понятие вероятности события.

Рассмотрим систему конечного числа событий:

А_1, А_2, А_{3, …} А_n.

и сделаем предположения:

1. Эти события попарно несовместны.

2. События единственно возможны.

3. События равновозможны (в данном опыте не существует каких-либо объективных причин для того, чтобы какое-то из этих событий происходило чаще).

Пусть событие А наступает при появлении некоторых из событий А_1, А_2, А_{3, …} А_n и не наступает при появлении других событий

Например, опыт – «подбрасывание игральной кости».

А₁ – выпадение 1.

А₂– выпадение 2.

А₃– выпадение 3.

А₄ – выпадение 4.

А₅ – выпадение 5.

А₆ – выпадение 6.

А – выпадение четного числа очков. Оно происходит при появлении А_2, А_4, А_6, и не происходит при появлении А_1, А_3, А_5.

Говорят, что те из элементарных событий А_n, при появлении которых А происходит, являются благоприятствующими событию А.

Допустим, что из общего числа п событий т благоприятствуют событию А, тогда вероятностью события А называется отношение числа благоприятствующих событий к общему числу событий, т.е.

Р(А) = т/п.

Это классическое определение вероятности.

Основные понятия теории вероятностей. Виды случайных событий

След. »

Различают следующие виды случайных событий: достоверные, невозможные и случайные. События обозначаются большими латинскими буквами А, В, С,...,Z. Достоверное событие всегда происходит в результате наблюдения или испытания. Достоверное событие обозначается символом – W.

Невозможное событие никогда не происходит в результате наблюдения или испытания. Невозможное событие обозначается символом – Æ.

Пример. Если в корзине только персики, то достать из корзины персик является достоверным событием, а достать лимон является невозможным событием.

Случайное событие – это такое событие, которое в результате наблюдения или испытания может произойти, а может и не произойти.

Пример. Студент сдаёт экзамен. Экзамен сдан. Это событие случайное, так как студент мог и не сдать экзамен.

Кроме того, события могут быть совместными и несовместными, зависимыми или независимыми. Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании. Примеры совместных событий: два стрелка стреляют по мишени, два спортсмена одновременно бегут. Случайные события А и В называются несовместными, если при данном испытании появление одного из них исключает появление другого события. Несовместные события: день и ночь, студент одновременно едет на занятие и сдаёт экзамен, число иррациональное и чётное.

Событие А называется независимым от события В, если вероятность появления события А не зависит от того произошло событие В или нет. Пример. Два студента одновременно сдают экзамен независимо друг от друга. Это событие совместное и независимое. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность появления события А зависит от того произошло или не произошло событие В. Пример. Работник получит оплату труда в зависимости от качества её выполнения.

Равновозможные события – это такие события, которые имеют одинаковые возможности для их появления. Полная группа событий – это совокупность единственно возможных событий при данном испытании. Пример. Студент может сдать экзамен на любую оценку. В данном случае возможны следующие события: студент может сдать экзамен на 5, студент может сдать экзамен на 4, студент может сдать экзамен на 3. Эти события образуют полную группу.

Противоположные события. Два случайные события А и В называются противоположными, если они несовместны и образуют полную группу событий. Примеры: студент может сдать или не сдать экзамен, день и ночь.

Конкретный результат испытания называется элементарным событием. Совокупность всех возможных, различных, конкретных исходов испытаний называется множеством элементарных событий.

Сложным событием (исходом) называется произвольное подмножество множества элементарных событий. Сложное событие в результате испытания наступает тогда и только тогда, когда в результате испытаний произошло элементарное событие, принадлежащее сложному. Например, испытание – подбрасывание кубика. Элементарное событие – выпадение грани с числом «1». Сложное событие – выпадение грани с нечётным числом.

14. Вероятность случая события: определения способы вычисления вероятности.

Вероя́тность (вероятностная мера) — численная мера возможности наступления некоторого события.

С практической точки зрения, вероятность события — это отношение количества тех наблюдений, при которых рассматриваемое событие наступило, к общему количеству наблюдений. Такая трактовка допустима в случае достаточно большого количества наблюдений или опытов. Например, если среди встреченных на улице людей примерно половина — женщины, то можно говорить, что вероятность того, что встреченный на улице человек окажется женщиной, равна 1/2. Другими словами, оценкой вероятности события может служить частота его наступления в длительной серии независимых повторений случайного эксперимента.

Согласно определению П. Лапласа, мерой вероятности называется дробь, числитель которой есть число всех благоприятных случаев, а знаменатель — число всех равновозможных случаев