- •Существуют и другие логические операции.
- •Логическая формула.
- •Определение логической формулы:
- •Существуют и другие логические операции.
- •Выборки элементов без повторений
- •Выборки элементов с повторениями
- •Предмет теории вероятностей.
- •Основные понятия теории вероятностей.
- •Элементы теории вероятностей
- •Понятие вероятности события.
- •Пример расчета вероятности
- •Понятие функции. Способы задания функции
- •Понятие функции. Способы задания функции
- •Предел функции
- •[Править] Бесконечно малая величина
- •Бесконечно большая величина
- •Свойства бесконечно малых
- •1. Определение производной функции. Необходимое условие существования производной
- •2. Физический и геометрический смысл производной
- •1) Физический смысл производной.
- •2) Геометрический смысл производной.
Предел функции
Понятие предела функции является одним из самых важных в математике. Дадим два определения этому понятию.
Определение предела по Коши. Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x, удовлетворяющих условию |x – a| < δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.
Определение предела по Гейне. Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для любой последовательности такой, что сходящейся к числу a, соответствующая последовательность значений функции сходится к числу A.
18. Бесконечные малые и бесконечно большие величины.
Бесконечно малая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.
Бесконечно большая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.
Исчисление бесконечно малых — вычисления, производимые с бесконечно малыми величинами, при которых производный результат рассматривается как бесконечная сумма бесконечно малых. Исчисление бесконечно малых величин является общим понятием для дифференциальных и интегральных исчислений, составляющих основу современной высшей математики. Понятие бесконечно малой величины тесно связано с понятием предела.
[Править] Бесконечно малая величина
Последовательность an называется бесконечно малой, если . Например, последовательность чисел — бесконечно малая.
Функция называется бесконечно малой в окрестности точки x0, если .
Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если либо .
Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если , то f(x) − a = α(x), .
Бесконечно большая величина
Во всех приведённых ниже формулах бесконечность справа от равенства подразумевается определённого знака (либо «плюс», либо «минус»). То есть, например, функция xsin x, неограниченная с обеих сторон, не является бесконечно большой при .
Последовательность an называется бесконечно большой, если .
Функция называется бесконечно большой в окрестности точки x0, если .
Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если либо .
Свойства бесконечно малых
-
Сумма конечного числа бесконечно малых — бесконечно малая.
-
Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.
-
Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную — бесконечно малая. Как следствие, произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.
-
Если an — бесконечно малая последовательность, сохраняющая знак, то — бесконечно большая последовательность.
19. Производная функции: определение, геометрический и физический смысл.
1. Определение производной функции. Необходимое условие существования производной
Пусть функция определена в точке и некоторой ее окрестности. Придадим аргументуприращение такое, что точка попадает в область определения функции. Функция при этом получит приращение .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента , при (если этот предел существует и конечен), т.е.
.
Обозначают: .
Производной функции в точке справа (слева) называется
(если этот предел существует и конечен).
Обозначают: – производная y=f(x) в точкесправа,
– производная y=f(x) в точкеслева.
Очевидно, что справедлива следующая теорема.
Теорема 1: Функция y=f(x) имеет производную в точкетогда и только тогда, когда в этой точке существуют и равны между собой производные функции справа и слева. Причем
.
Следующая теорема устанавливает связь между существованием производной функции в точке и непрерывностью функции в этой точке.
ТЕОРЕМА (необходимое условие существования производной функции в точке). Если функция y = f(x) имеет производную в точке, то функция f(x) в этой точке непрерывна.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Пусть существует . Тогда
,
где – бесконечно малая при .
⇒ ;
⇒
.
Но это означает, что функция f(x) непрерывна в точке (по геометрическому определению непрерывности). ∎
Замечание. Непрерывность функции в точке не является достаточным условием существования производной этой функции в точке . Например, функция y = |x| непрерывна, но не имеет производной в точке.
Очевидно, что соответствиеявляется функцией, определенной на некотором множестве. Ее называют производной функции y = f(x) и обозначают
.
Операцию нахождения для функции f(x) ее производной функции называют дифференцированием функции y = f(x).