- •Измерения электрических и магнитных величин Курс лекций
- •Введение. Основные термины и определения.
- •1. Общие сведения об электрических измерениях Определения и классификация средств измерений
- •1.2 Характеристики средств измерений
- •Структурные схемы средств измерений
- •Эталоны, образцовые и рабочие меры
- •Меры электрических величин
- •Меры эдс на основе нормальных элементов
- •Меры напряжения на основе кремниевых стабилитронов
- •Калибраторы напряжения и силы тока
- •Меры сопротивления, емкости, индуктивности
- •Классификация измерений
- •2. Погрешности измерений и обработка результатов измерений Основные понятия
- •Вероятностные оценки ряда наблюдений
- •Вероятностные оценки погрешности результата измерений на основании ряда наблюдений
- •Суммирование погрешностей
- •Динамическая погрешность
- •3. Измерения электрических величин аналоговыми приборами
- •3.1. Общие сведения
- •3.2. Принцип действия, основы теории и применения измерительных механизмов
- •3.3. Масштабные измерительные преобразователи
- •3.4. Измерение постоянных токов, напряжений и количества электричества
- •3.5. Измерение переменных токов и напряжений электромеханическими приборами без преобразователей рода тока
- •3.6. Измерение переменных токов и напряжений магнитоэлектрическими приборами с преобразователями рода тока
- •3.7. Измерение мощности, энергии, угла сдвига фаз и частоты
- •3.8. Измерение параметров электрических цепей
- •3.9. Анализ кривых переменного тока
- •3.10. Переходные процессы в электромеханических приборах
- •Масштабные измерительные преобразователи
- •Токовые шунты
- •Добавочные сопротивления
- •Делители напряжения
- •Измерительные усилители
- •Измерительные трансформаторы переменного тока и напряжения
- •Электромеханические измерительные преобразователи и приборы Принцип действия
- •Общие узлы и детали
- •Магнитоэлектрические измерительные преобразователи и приборы
- •Применение магнитоэлектрических приборов для измерений в цепях переменного тока
- •Электромагнитные измерительные преобразователи и приборы
- •Электростатические измерительные преобразователи и приборы
- •Электродинамические и ферродинамические измерительные преобразователи и приборы
- •Индукционные приборы
Вероятностные оценки ряда наблюдений
Законы распределения. При выполнении повторных измерений одной и той же измеряемой величины легко убедиться, что результаты отдельных измерений отличаются друг от друга. Это отличие объясняется действием погрешностей, являющихся, как было отмечено, случайными величинами. Полным описанием случайной величины, а следовательно и погрешности, является ее закон распределения. Этим законом распределения и определяется характер появления различных результатов отдельных измерений в ряду наблюдений.
В практике электрических измерений встречаются различные законы распределения. Одним из наиболее распространенных законов распределения погрешностей является нормальный закон (Гаусса), который базируется на центральной предельной теореме теории вероятностей7.
Математически нормальное распределение случайных погрешностей может быть представлено формулой
(2.1)
где ω(δ) - плотность вероятности случайной погрешности δ; σ - среднее квадратическое отклонение.
Характер кривых, описываемых уравнением (2.1) для двух значений σ, показан на рис. 11. Из этих кривых видно, что чем меньше σ, тем чаще встречаются малые случайные погрешности, т. е. тем точнее выполнены измерения.
Рис. 11. Закон нормального распределения случайных погрешностей
Рис. 12. Закон равномерной плотности
Кроме нормального закона распределения погрешностей в практике электрических измерений сравнительно часто встречается закон равномерной плотности. При измерении какой-либо величины прибором всегда существуют некоторые границы неопределенности, например, определяемые основной погрешностью прибора. В пределах этих границ невозможно установить значение измеряемой величины, которое в пределах границ может быть различным, причем эти значения могут оказаться равновероятными.
На рис. 12 показан закон равномерной плотности. Аналитически он может быть записан так:
(2.2)
где ω(δ) - плотность распределения погрешности в интервале от до .
В практике измерений встречаются и другие законы распределения, которые могут быть установлены на основании статистической обработки опытных данных. Некоторые из наиболее часто встречающихся законов распределения приведены в ГОСТ 8.011-72 «Показатели точности измерений и формы представления результатов измерений».
Основные характеристики законов распределения. Основными характеристиками законов распределения являются математическое ожидание и дисперсия. Математическое ожидание ряда наблюдений есть величина, относительно которой рассеиваются результаты отдельных измерений. Если систематическая погрешность отсутствует, и разброс результатов отдельных измерений обусловлен только случайной погрешностью, то математическим ожиданием такого ряда наблюдений будет истинное значение измеряемой величины. Если же результаты отдельных измерений кроме случайной погрешности содержат постоянную систематическую погрешность, то математическое ожидание ряда наблюдений будет смещено от истинного значения измеряемой величины на значение систематической погрешности.
Дисперсия ряда наблюдений характеризует степень рассеивания (разброса) результатов отдельных наблюдений вокруг математического ожидания. Чем меньше дисперсия, тем меньше разброс отдельных результатов, тем точнее выполнены измерения. Следовательно, дисперсия может служить характеристикой точности проведенных измерений. Однако дисперсия выражается в единицах в квадрате измеряемой величины. Поэтому в качестве характеристики точности ряда наблюдений наиболее часто применяют среднее квадратическое отклонение σ, равное корню квадратному из дисперсии с положительным знаком и выражаемое в единицах измеряемой величины. Среднее квадратическое отклонение, отнесенное к значению измеряемой величины, может быть выражено в относительных единицах или в процентах. Если результаты отдельных измерений содержат постоянную систематическую погрешность (в частном случае равную нулю), то разброс отдельных результатов относительно математического ожидания происходит только под действием случайной погрешности. В этом случае дисперсия ряда наблюдений равна дисперсии случайной погрешности.
Оценки основных характеристик ряда наблюдений. Обычно математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение ряда наблюдений неизвестны. В этом случае их приходится оценивать по результатам полученного ряда наблюдений.
Оценка математического ожидания ряда наблюдений. Как следует из теории вероятностей, оценкой математического ожидания ряда наблюдений может служить среднее арифметическое результатов отдельных наблюдений
(2.3)
где a1, a2,…, an - результаты отдельных наблюдений; n - число наблюдений.
Отклонение между каждым из отдельных значений и средним арифметическим (разности ρ1 = а1 - Аср; ρ2 = а2 - Аср;…; ρn = аn - Аср) называется случайным отклонением результата наблюдения (или остаточной погрешностью) и может иметь как положительный, так и отрицательный знак.
Одним из свойств среднего арифметического является то, что алгебраическая сумма остаточных погрешностей равна нулю, т. е. Σρi = 0; этим следует пользоваться для контроля правильности подсчета Aср. При неограниченно большом числе наблюдений Aср стремится к математическому ожиданию ряда наблюдений.
Оценка дисперсии ряда наблюдений, согласно теории вероятностей, может быть выражена через остаточные погрешности формулой
(2.4)
Оценкой среднего квадратического отклонения ряда наблюдений будет , т. е. S с положительным знаком.
При неограниченно большом числе наблюдений (практически при n > 30) оценки S2 и S совпадают соответственно с дисперсией и средним квадратическим отклонением ряда наблюдений.