2. Свойства поверхностей второго порядка

При помощи поворотов и параллельного переноса осей координат всякое урав­нение поверхности второго порядка может быть преобразовано к простому каноническому виду. Основные канонические уравнения и названия соответствующих поверхностей даны в таблице, а их схематические изображения приведены на рисунке 40, а – к.

Эллипсоид (рис. а). Сечением эллипсоида любой плоскостью является эллипс (в частном случае круг). Координаты точек эллипсоида удовлетворяют неравенствам .

В частном случае имеем эллипсоид вращения, получающийся при вращении эллипса , лежащего в плоскости xОz, вокруг оси Оz (при эллипсоид вращения называется сплюснутым, а при — вытянутым).

Гиперболоиды (рис. б, в). Для обоих гиперболоидов сечения, па­раллельные оси Оz, — гиперболы (для однополостного гиперболоида может быть пара пересекающихся прямых); сечения, параллельные плоскости хОу, — эллипсы.

Двуполостный гиперболоид состоит из двух частей, точки которых расположены соответственно при и

Конус (рис. г) имеет вершину в начале координат. Поверхность конуса состоит из прямых линий (эти линии называются образующими), проходящих через его вершину и точки эллипса с полуосями а и b, плоскость которого перпендикулярна оси z и находится на расстоянии с от начала координат.

Конус является асимптотическим для обоих гиперболоидов, т.е. каждая из его образующих при удалении в бесконечность неограниченно приближается к обоим гиперболоидам.

Эллиптический параболоид (рис. д). Сечения, параллельные оси Оz, — параболы; сечения, параллельные плоскости хОу, – эллипсы. Точки эллип­тического параболоида расположены в области .

В частном случае имеем параболоид вращения, порождаемый вращением параболы вокруг оси z.

Гиперболический параболоид (рис. е). Сечения, параллельные плос­костям yОz и xОz,—параболы; сечения, параллельные плоскости хОу,— гиперболы (и пара пересекающихся прямых).

Цилиндры (рис. ж, з, и). Поверхности цилиндров состоят из прямых линий, параллельных оси Оz. Сечениями (параллельными оси Оz) эллипти­ческого, гиперболического и параболического цилиндров соответственно являются эллипсы, гиперболы и параболы.

Таблица.

Канонические уравнения поверхностей второго порядка

№	Каноническое уравнение	Название поверхности	Рисунок
1		Эллипсоид	а
2		Однополостный гиперболоид	б
3		Двуполостный гиперболоид	в
4		Конус второго порядка	г
5		Эллиптический параболоид	д
6		Гиперболический параболоид	е
7		Эллиптический цилиндр	ж
8		Гиперболический цилиндр	з
9		Параболический цилиндр	и
10		Пара пересекающихся плоскостей	к
11		Пара параллельных плоскостей	–
12		Пара совпадающих плоскостей.	–

рис. 40.