- •2.1.1. Основные понятия
- •Виды матриц
- •2.1.2. Операции над матрицами
- •Умножение матрицы на число
- •Сложение и вычитание матриц
- •Умножение матриц
- •Транспонирование матриц
- •2.1.3. Матричная запись систем линейных уравнений.
- •2.1.4. Определители
- •Свойства определителей:
- •2.1.5. Решение систем линейных уравнений различными методами
- •Решение систем линейных уравнений методом Крамера
- •Решение систем линейных уравнений с использованием обратной матрицы.
- •Задания для самоподготовки
- •Образец выполнения задания
- •Задание № 1. Сложение матриц.
- •Задание № 2. Умножение матрицы на число
- •Задание № 3. Транспонирование матрицы
- •Задание № 4. Умножение матриц
- •Задание № 5. Вычисление определителя матрицы
- •Задание № 6. Вычисление обратной матрицы
- •Задание № 7. Решение систем линейных алгебраических уравнений
- •Индивидуальные задания для практической работы
- •3.1.1. Окружность
- •3.1.2. Эллипс
- •3.1.3. Гипербола
- •3.1.4. Парабола
- •Задания для самоподготовки
- •3.3. Образец выполнения задания
- •Задание № 1. Выбор диапазона данных и построение таблицы значений.
- •3.4. Индивидуальные задания для практической работы
- •Основные понятия
- •Цилиндрические поверхности
- •Свойства поверхностей второго порядка
- •Канонические уравнения поверхностей второго порядка
- •4.2. Задания для самоподготовки
- •4.3. Образец выполнения задания
- •4.4. Индивидуальные задания для практической работы
- •Литература
- •Учебное издание
- •400005, Г. Волгоград, пр.Ленина, 78.
Решение систем линейных уравнений с использованием обратной матрицы.
Напомним, что матричная запись системы линейных уравнений имеет вид: АХ = В, где А – матрица системы, Х – вектор-столбец переменных, В – вектор-столбец свободных членов.
Согласно определению обратной матрицы, .
Умножив обе части уравнения на обратную матрицу, получим:
или .
Учитывая, что , окончательно получим: , т.е. для решения системы линейных уравнений достаточно воспользоваться следующим алгоритмом:
-
составить обратную матрицу к матрице системы;
-
выполнить умножение полученной матрицы и вектор-столбца свободных членов;
-
полученный вектор-столбец образован значениями переменных и является решением системы.
Пример. Решим систему уравнений, используя обратную матрицу:
Решение. Произведем вычисления согласно приведенному выше алгоритму:
Таким образом, обратная матрица системы имеет вид:
Замечание. Обратную матрицу можно отыскать и другим образом:
, где – алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы системы.
Тогда
Затем умножим полученную матрицу на вектор-столбец свободных членов:
Таким образом, получим:
Ответ.
-
Задания для самоподготовки
Задание 1.
Определите тип следующих матриц:
1); 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) .
Ответ. 1) квадратная матрица второго порядка, 2) ступенчатая матрица, 3) вектор-строка, 4) нулевой вектор-столбец, 5) нижняя треугольная матрица, 6) диагональная матрица четвертого порядка.
Задание 2.
Выполните следующие действия:
1) ; 2) , если
; ; .
(Подсказка. Порядок действий соответствует арифметическим правилам старшинства операций. В первом задании произведите вычитание матриц, а затем умножьте результат на 6. Во втором задании каждую из данных матриц умножьте на соответствующее число, а затем произведите действия вычитания и сложения по порядку.)
Ответ. 1) ; 2) .
Задание 3.
Выполните следующие действия:
1) ; 2) , если .
Ответ. 1) ; 2) .
Задание 4.
Убедитесь, что АВ ВА, если .
(Подсказка. Найдите значения левой и правой частей, воспользовавшись правилом вычисления произведения матриц.)
Отает. .
Задание 5.
Вычислите А2 – 3А + 5Е, если
(Подсказка. Выполните действия по порядку старшинства операций. Учтите, что .
Ответ.
Задание 6.
Выполните действия: и , если это возможно, если
.
Ответ. Первое задание выполнить невозможно, так как число столбцов первой матрицы А не совпадает с количеством строк второй матрицы ВТ. Во втором случае, после транспонирования матрицы В, получим:
Задание 7.
Найдите многочлен если ,
где .
(Подсказка. При подстановке вместо х матрицы А последнее слагаемое 2 рассматривается как 2Е, где Е – единичная матрица соответствующего порядка, т. е. .)
Ответ..
Задание 8.
Составьте обратную матрицу для данной:
-
; 2) .
Ответ. 1) 2) .
Задание 9.
Вычислите значения определителей следующих матриц:
Ответ.
Задание 10.
Найдите значения следующих определителей:
-
; 2) .
(Подсказка. Разложите определители по четвертому столбцу.)
Ответ. 1) 56, 2) 116.
Задание 11.
Решите систему уравнений методом Крамера:
1) 2)
3)
Ответ. 1) 2) решений нет, 3) решений бесконечно много.
Задание 12.
Решите систему уравнений при помощи обратной матрицы:
Ответ.