Колебательное движение материальной точки.
Цель работы: приобретение теоретических знаний о колебательном движении материальной точки над действием силы, пропорциональной расстоянию.
Задача Д2: груз массой m присоединили к концу недеформированной пружины и отпустили без начальной скорости, в результате чего он стал совершать колебательные движения. При статическом равновесии длина пружины изменилась на . Определить, используя данные в таблице Д2 и на рис. Д2.0-Д2.9:
-
Уравнение движения груза
-
Амплитуду и период колебания
Трением и массой пружины пренебречь.
Таблица Д2.
Последняя цифра зачетной книжки
№ пп |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
m, кг |
2 |
3 |
1 |
4 |
2 |
3 |
5 |
1 |
3 |
2 |
, см |
10 |
20 |
15 |
30 |
10 |
15 |
10 |
20 |
30 |
25 |
Указания: задача Д2 относится к колебанию материальной точки. Для его решения необходимо: составить дифференциальное уравнение 2-го порядка, проинтегрировать данное уравнение, учтя начальные условия.
Предпоследняя цифра зачетной книжки
Рис. Д2.0 |
45° Рис. Д2.1 |
60° Рис. Д2.2 |
45° Рис. Д2.3 |
Рис.Д2.4 |
45° Рис. Д2.5 |
30° Рис. Д2.6 |
Рис. Д2.7 |
45° Рис. Д2.8 |
30° Рис. Д2.9 |
Пример Д2: груз массой 1 кг присоединили к концу недеформированной пружины и отпустили без начальной скорости, в результате чего он стал совершать колебательные движения. При статическом равновесии пружина удлинилась на 10 см. определить:
-
Уравнение движения груза;
-
Амплитуду и период колебания;
Трением и массой пружины пренебречь.
Решение:
Отметим на рисунке Д2 положения: недеформированной пружины (1), груза, в котором он остановится при статическом равновесии (2),груза в произвольный момент времени. Направим ось по наклонной плоскости. За начало отсчета т.О примем положение груза при статическом равновесии.
Y
0
X
На груз действуют силы: – сила тяжести, – нормальная реакция опоры, – сила упругости пружины. Дифференциальное уравнение движения груза имеет вид , где , C – коэффициент жесткости пружины, – удлинение пружины. Таким образом, уравнение движения примет вид
;
.
В этом уравнении нам известен параметр С. Чтобы его найти, рассмотрим груз в положении статического равновесия ():
, откуда
.
Подставляя значения С, m, P в наше дифференциальное уравнение движения груза, получим: . Это линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Решается с помощью соответствующего характеристического уравнения: .
Общее решение данного уравнения имеет вид
,
Где С1 и С2 постоянные интегрирования. Для вычисления С1 и С2 найдем и используем начальные условия
,
.
Таким образом, уравнение движения груза имеет вид
Амплитуда колебания
Период колебания T найдем по формуле – период косинуса:
Ответ: ; ; .
Лабораторная работа№5.