9.2. Связь между непрерывностью и существованием производной

Пусть функция имеет производную в данной точке х, т. е. существует предел

.

Переменная величина равна сумме своего предела и бесконечно малой при величины . Поэтому справедливо равенство

.

Умножая обе части равенства на ∆x, получаем

.

(9.4)

Теорема. Если функция имеет производную в данной точке, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Согласно (9.4) Найдем

Так как при , то по второму определению непрерывности функция непрерывна в точке х.

Обратное утверждение может не выполняться.

Пример 9.3. Рассмотрим функцию (рис. 9.4.)

Значение . При переходе от точки к точке функция получает приращение

.

Если , то , следовательно, функция непрерывна в точке .

Рассмотрим отношение :

если , то , и ;

если , то и .

Левый и правый пределы функции не равны между собой, следовательно, в точке предел отношения приращения функции к приращению аргумента не существует, следовательно функция не имеет производной в этой точке.

9.3. Таблица производных

. . . . . .

. . . . .

9.4. Правила вычисления производной

Рассмотрим функции и , имеющие производные и .

Теорема 1. Производная от постоянной величины равна нулю.

Доказательство. Пусть , где . Тогда , , т.е. и

.

Теорема 2. Производная алгебраической суммы двух функций равна сумме производных слагаемых.

Доказательство. Пусть . Тогда

,

откуда . Находим

,

следовательно,

,

т. е.

,

или

.

(9.5)

Пример 9.4. .

Замечание. Правило дифференцирования суммы двух слагаемых распространяется на случай алгебраической суммы лю­бого конечного числа слагаемых.

Теорема 3. Производная произведения двух функций вычисляется по формуле

.

(9.6)

Доказательство. Пусть . Тогда

,

откуда

,

и

.

Следовательно

.

Поскольку функция имеет производную, она непрерывна и , поэтому , что и требовалось доказать.

Пример 9.5. Вычислим производную функции .

Согласно (9.6)

.

Следствие. Постоянный множитель можно вынести за знак производной.

.

(9.7)

Теорема 4. Производная частного двух функций вычисляется по формуле

.

(9.8)

Доказательство. Пусть , где . Тогда

,

откуда

.

Следовательно,

,

и

,

т.е.

, или .

Пример 9.6.

Теорема 5. Производная сложной функции вычисляется по формуле

.

(9.9)

Доказательство. Пусть , где , т.е. y – сложная функция от x, причем имеет производную по u, а – по х. Требуется найти производную y по х. Находим

,

откуда

,

или

.

Пример 9.7. .

Пример 9.8. .