Глава 9

9.11. 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) .

9.12.. 9.13. ; 4; 1; 9. 9.14.; 8;16. 9.15. . 9.16.. 9.17.. 9.18. . 9.19. . 9.20. ; 0; . 9.21.. 9.22.. 9.21.; 3. 9.23. . 9.24. . 9.25. ; 9.26. . 9.27. ; -7. 9.28. ; . 9.29. . 9.30. . 9.31. . 9.32. . 9.33. . 9.34. . 9.35. . 9.36. . 9.37. . 9.38. . 9.39. ; . 9.40. . 9.41. . 9.42. ; 0. 9.43. . 9.44. . 9.45. . 9.46. . 9.47. . 9.48. . 9.49. . 9.50. . 9.51. . 9.52. . 9.53. . 9.54. . 9.55. . 9.56. . 9.57. . 9.58. . 9.59. . 9.60. . 9.61. . 9.62. ; -1. 9.63. ; 0. 9.64. ; 0,25. 9.65. ; -1. 9.66. ; 0,5. 9.67. . 9.68. . 9.69. . 9.70. . 9.71. . 9.72. . 9.73. . 9.74. . 9.75. .

9.76. . 9.77. . 9.78. . 9.79. . 9.80. . 9.81. . 9.82. . 9.83. . 9.84. . 9.85. 0. 9.86. . 9.87. . 9.88. . 9.89. . 9.90. . 9.91. . 9.92. . 9.93. . 9.94. . 9.95. .

9.96. 17 м/c. 9.97. м/с. 9.98. 8 м/c; -12 м/c (минус указывает на то, что направление скорости тела в момент t = 2 противоположно направлению начальной скорости); 8,2 м. 9.99. -0,03 м/c; 0,006 м/c². 9.100. 112,5 ед./ч; 82,5 ед./ч. 9.101. 43 ед./ч; -22 ед./ч². 9.102. 25 г/с. 9.103. 11 человек.

9.104. касательная , нормаль .

9.105. касательная , нормаль .

9.106. касательная , нормаль .

9.107. касательные и ; нормали и .

9.108. касательные и ; нормали и .

Глава 10. Приложения производной

10.1. Свойства дифференцируемых функций

Теорема Ферма. Если функция , определенная в интервале , достигает в некоторой точке с этого интервала наибольшего или наименьшего значения, и существует конечная производная , то .

Геометрический смысл теоремы состоит в том, что касательная к графику функции в точке с параллельна оси абсцисс (рис. 10.1).

Теорема Ролля. Если функция , непрерывная на отрезке и дифференцируемая в интервале , принимает на концах этого отрезка равные значения , то в интервале , существует точка с, такая, что .

Геометрический смысл теоремы состоит в том, что если ординаты кривой на концах отрезка равны, то на кривой найдется точка, в которой касательная параллельна оси абсцисс (рис. 10.2).

Теорема Лагранжа. Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема в интервале , то внутри интервала найдется такая точка с, что .

Геометрический смысл теоремы состоит в том, что на графике функции , где , существует такая точка с, что касательная к графику в этой точке параллельна хорде AB (рис. 10.3).

Следствие 1. Если функция имеет равную нулю производную на некотором интервале , то функция является постоянной на этом интервале.

Следствие 2. Если две функции и имеют равные производные во всех точках интервала , то они отличаются на одну и ту же постоянную величину для всех х из этого интервала.

10.2. Правило Лопиталя

Теорема. Пусть в некоторой окрестности точки (кроме, быть может, самой точки ) функции и дифференцируемы и .

Если или , т.е. частное в точке представляет собой неопределенность вида или , то

(10.1)

если предел в правой части равенства существует.

Замечание 1: Правилом Лопиталя раскрытия неопределенностей можно пользоваться и при .

Замечание 2: Если частное в точке также представляет собой неопределенность вида или , то правило следует применить второй раз (т.е. перейти к отношению вторых производных и т.д.).

Замечание 3: В случае неопределенности вида или следует алгебраически преобразовать данную функцию так, чтобы привести ее к неопределенности вида или и затем воспользоваться правилом Лопиталя.

Пример 10.1. Найти предел .

Числитель и знаменатель стремятся к нулю при , поэтому имеем неопределенность вида . Воспользуемся правилом Лопиталя, т.е. рассмотрим предел отношения производных заданных функций:

Пример 10.2. Найти предел .

Это также неопределенность вида . Воспользуемся правилом Лопиталя:

Здесь правило Лопиталя применено дважды.

Пример 10.3. Найти предел .

Это – неопределенность вида . Применим правило Лопиталя:

Пример 10.4. Найти предел .

Здесь мы имеем неопределенность вида . Представим произведение функций в виде частного, а затем, получив неопределенность вида , применим правило Лопиталя:

Пример 10.5. Найти предел .

Это – неопределенность вида . Для того, чтобы найти предел функции, приведем дроби к общему знаменателю, а затем, получив неопределенность вида , применим правило Лопиталя: