- •11 Метод Гаусса
- •12 Однородные системы линейных уравнений и их решение
- •16.Скалярное произведение векторов.
- •17. Векторное произведение векторов.
- •60. Дифференциал длины дуги. Кривизна линий.
- •29. Линии второго порядка
- •30. Поверхности второго порядка.
- •Определение и геометрический смысл производной
- •Алгебра производных
- •Особые случаи
- •Теоремы Ферма и Ролля
- •Формулы Коши и Лагранжа
- •Дифференциал
- •Теорема о дифференцируемости функций
- •Правила дифференцирования
- •Формула Тейлора в общем случае. Свойства остаточного члена.
- •Остаточный член формулы Тейлора в формуле Пеано
- •Остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа
- •Разложение в ряд Тейлора некоторых функций
- •(Проекция суммы равна сумме проекций);
- •(Проекция произведения вектора на число равна произведению проекции вектора на число).
- •Глава 4. Понятие базиса. Свойства вектора в данном базисе
- •2.1 Непрерывность функции
- •2.4 Теоремы о непрерывных функциях
30. Поверхности второго порядка.
Поверхностью второго порядка наз множество М точек плоскости, координаты х,у которых удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени.
Цилиндрические поверхности.
Поверхность которая образуется при движении прямой образующей вдоль направляющей линии и при этом образующая остается параллельна оси координат наз цилиндрической. В зависимости от вида направляющей линии цилиндр поверхности подразделяются на 3 вида:
1. эллиптический цилиндр (напр линией явл эллипс)
х²/а²+у²/в²=1 – уравнение эллиптического цилиндра.
Напр линия- эллипс в плоскости ХОУ
Образующая параллельна ОZ
2. гиперболический цилиндр- направляющей явл гипербола
х²/а²-у²/в²=1, образующая параллельна ОZ
3. параболический цилиндр – напр явл парабола
у²= 2рх или х²= 2ру, направляющая параллельна ОZ
общие поверхности второго порядка
1. сфера х²+у²+z²=R²
2. трехконусный эллипсоид х²/а²+у²/в²+z²/c²=1
3. однополосный гиперболоид х²/а²+у²/в²-z²/c²=1
4. . двухполосный гиперболоид х²/а²+у²/в²-z²/c²=-1
5. конус х²/а²-у²/в²-z²/c²=0
6. эллиптический параболоид х²/а²+у²/в²=z
7. гиперболический параболоид х²/а²-у²/в²=z
Если центр или вершина поверхности нах не в начале координат, ам в точке М, то уравнение таких поверхностей получается из приведенных выше уравнений заменами:
х—(х-х´)
у—(у-у´)
Если поверхность задана общим уравнением вида Ах²+Ву²+Сху+Дх+Еу+Fz+М=0, то для определения вида поверхности и ее параметров данное уравнение необходимо привести к каноническому виду с помощью метода выделения полных квадратов.
Определение и геометрический смысл производной
Пусть функция f(x) непрерывна в точке .
Определение. Производной от функции в точке называется величина
Дадим некоторые расшифровки этого важнейшего понятия математического анализа.
а) Вспоминая определение предела можно записать определение через кванторы .
б) Величина называется приращением аргумента, а величина приращением функции. Тогда
в) Обозначая , можно записать
Понятие производной впервые появилось в физике в связи с понятием скорости. Пусть некоторая материальная точка движется по оси так что есть координата точки в момент времени. Спустя время dt координата точки будет , т.е. за время точка пройдет путь . Поэтому средняя скорость точки за интервал времени будет равна. Чтобы найти мгновенную скорость точки в момент времени надо устремить кнулю, т.е.
Таким образом, производная от координаты точки определяет ее мгновенную скорость. Поэтому и производную функции в некоторой точке можно трактовать как скорость изменения функции.
Дадим еще геометрический смысл производной. В определение производной входят две операции: деление и предельный переход при . Что же это дает?
Нанося на график точки с координатами (, ) и (, ) мы получим фигуру изображенную на рисунке. Проведем через эти точки линию, которая называется секущей. Тогда дробь есть не что иное как , где есть угол наклона секущей к оси OX.
Но, в определении производной есть еще предельный переход при . Что же дает этот предельный переход?.
При точка M начинает двигаться к точке M0. При этом вся секущая будет поворачиваться около точки M0 и в пределе она превратиться в касательную к точке M0. Угол при этом перейдет в угол , который эта касательная образует с осью OX. Поэтому можно утверждать, что
где угол, образованный касательной к кривой в точке и осью OX.