- •11 Метод Гаусса
- •12 Однородные системы линейных уравнений и их решение
- •16.Скалярное произведение векторов.
- •17. Векторное произведение векторов.
- •60. Дифференциал длины дуги. Кривизна линий.
- •29. Линии второго порядка
- •30. Поверхности второго порядка.
- •Определение и геометрический смысл производной
- •Алгебра производных
- •Особые случаи
- •Теоремы Ферма и Ролля
- •Формулы Коши и Лагранжа
- •Дифференциал
- •Теорема о дифференцируемости функций
- •Правила дифференцирования
- •Формула Тейлора в общем случае. Свойства остаточного члена.
- •Остаточный член формулы Тейлора в формуле Пеано
- •Остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа
- •Разложение в ряд Тейлора некоторых функций
- •(Проекция суммы равна сумме проекций);
- •(Проекция произведения вектора на число равна произведению проекции вектора на число).
- •Глава 4. Понятие базиса. Свойства вектора в данном базисе
- •2.1 Непрерывность функции
- •2.4 Теоремы о непрерывных функциях
Особые случаи
То, что в точке функция непрерывна не означает, разумеется, что в этой точке у нее обязательно существует производная. Функция может быть непрерывной, а производной может и не существовать. Что же там может быть?
-
А. Односторонние производные
Назовем
производной от функции в точке слева, а
производной в той же точке справа. Разумеется, если , то это означает, что в точке существует . Но могут быть случаи, когда и существуют, но не равны друг другу. В этом случае не существует и . График функции имеет в точке в этом случае “излом”, и в этой точке к графику можно провести две касательные .
-
Б. Бесконечная производная
Рассмотрим функцию определенную для и потребуем найти . Имеем
и производная равна .
Рассматривая график функции легко увидеть, что это означает просто то, что в точке касательная к графику параллельна оси OY.
-
В. Несуществование производной
Наконец, может быть ситуация, когда , фигурирующий в определении производной, не существует.
Рассмотрим для примера, . Так как , то . Поэтому полагая получим
и этот предел просто не существует.
Из графика функции видно, что с приближением к точке касательная колеблется, не стремясь ни к какому определенному положению.
В математике построены даже примеры функций, которые являются непрерывными, но ни в одной точке не имеют производной.
Теоремы Ферма и Ролля
Теорема Ферма. Пусть функция определена и непрерывна на промежутке и в некоторой внутренней точке этого промежутка достигает своего наибольшего или наименьшего значения, если в этой точке существует производная, то она равна нулю: .
Доказательство
Пусть, для определенности, в точке функция достигает своего наибольшего.
По условию теоремы эта точка внутренняя, т.е. , и поэтому к этой точке можно подойти и слева и справа.
Пусть мы подходим к слева. Тогда
(т.к. - наибольшее значение)
(т.к. мы подходим слева)
Делая предельный переход получим
Пусть мы подходим к точке справа. Тогда
(т.к. - наибольшее значение)
(т.к. мы подходим слева)
Делая предельный переход получим
Совместить два полученных неравенства можно только в одном случае: . ч.т.д.
Геометрический смысл доказанной теоремы ясен из рисунка: в точке наибольшего или наименьшего значения функции касательная к графику функции параллельна оси OX.
-
Существование ограничений
В теореме Ферма по сути дела два ограничения: а) точка расположена внутри отрезка и б) . Покажем, что оба ограничения являются существенными, т.е. отказ от любого из них приводит к тому, что утверждение теоремы становится неверным.
а) “внутренность” точки x0
Если максимум или минимум функции достигается на границе отрезка, то утверждение теоремы Ферма неверно. При доказательстве это проявляется в том, что мы сможем подойти к точке только с одной стороны и поэтому не получится второго, противоположного неравенства.
б) существование производной.
Пусть в точке существуют только односторонние производные. Тогда, как это видно из рисунка, теорема Ферма неверна. При доказательстве это проявиться в том, что получаться неравенства и , которые нельзя будет объединить в одно равенство, т.к. теперь
Теорема Ролля. Пусть функция
а) определена и непрерывна на [a,b]
б) ;
в)
Тогда существует точка в которой .
Доказательство этой теоремы следует из такой логической цепочки рассуждений:
1. Так как определена и непрерывна на , то, по первой теореме Вейерштрасса, она ограничена на , т.е. существуют конечные и .
2. Если , то есть константа, т.е. и поэтому . В качестве точки c можно взять любую точку из .
3. Если , то, в силу условия и второй теоремы Вейерштрасса, хотя бы одно из значений или достигается во внутренней точке промежутка ,по теореме Ферма, в этой точке (их может быть и две) производная равна нулю.
ч.т.д.