Численные методы решения нелинейных уравнений.

Цель задания - закрепление теоретического материала, составление алгоритмов и программ для решения нелинейных уравнений F(x) = 0 с использованием численных методов.

Варианты индивидуальных заданий приведены в таблице 2.

Порядок выполнения задания.

1. Произвести анализ функции и сделать заключение о возможности использования предложенного вам метода.

2. Представить геометрическую интерпритацию метода.

3. Составить алгоритм выбора начального приближения для х  [ a, b ] (если это необходимо для данного метода).

4. Составить алгоритм вычисления корня уравнения F(x) = 0 c выбором начального приближжения и с заданной точностью, используя предложенный вам метод численного решения.

5. Составить программу решения этой задачи на алгоритмическом языке.

6. Ввести программу в ЭВМ и получить результат.

7. Оформить отчет и представить к защите.

Таблица 2.

Варианты индивидуального задания 2.

№ за-дачи	Уравнение	Отрезок	Метод численного решения	Ожидаемое значение корня
1	2	3	4	5
1	3sinx+0.35x-3.8=0	2; 3	Итераций	2.2985

Продолжение табл. 2

1	2	3	4	5
2	0.25x^3+x-1.2502=0	0 ; 2	Ньютона	1.0001
3	x+x+^3x-2.5=0	0.4 ; 1	Половинного деления	0.7376
4	е^x+1+e^2x-2=0	-1 ; 0	Хорд	-0.2877
5	0.1x^2-xln(x)=0	1 ; 2	Ньютона	1.1183
6	аrccos(x)-1-0.3x^3=0	0 ; 1	Итераций	0.5629
7	3x-4ln(x)-5=0	2 ; 4	Ньютона	3.2300
8	cos(2/x)-2sin(1/x)+1/x=0	1 ; 2	Половинного деления	1.8756
9	sin(x^2)+cos(x^2)-10x=0	0 ; 1	Хорд	0.1010
10	1-0.4x^2-arcsin(x)=0	0 ; 1	Итераций	0.7672
11	e^x-e^-x-2=0	0 ; 1	Ньютона	0.8814
12	x-2+sin(1/x)=0	1.2 ; 2	Итераций	1.3077
13	e^x+ln(x)-10x=0	3 ; 4	Хорд	3.5625
14	1-x+sin(x)-ln(1+x)=0	0 ; 1.5	Итераций	1.1474
15	3x-14+e^x-e^-x=0	1 ; 3	Ньютона	2.0692
16	1-x-tg(x)=0	0 ; 1	Половинного деления	0.5768
17	3ln^2(x)+6ln(x)-5=0	1 ; 3	Хорд	1.8832
18	sin(x^2)+cos(x^2)-10x=0	0 ; 1	Половинного деления	0.1010
19	x^2ln(1+x)-3=0	2 ; 3	Итераций	2.0267
20	2xsin(x)-cos(x)=0	0.4 ; 1	Ньютона	0.6533
21	е^x+1+e^2x-2=0	-1 ; 0	Половинного деления	-0.2877
22	ln(x)-x+1.8=0	2 ; 3	Итераций	2.8459
23	2tg(x)-1/3=0	0.2 ; 1	Хорд	0.5472
24	tg(x/2)-ctg(x/2)+x=0	1 ; 2	Половинного деления	1.0769
25	0.4x^2-arcsin(x)=0	0 ; 1	Ньютона	0.7672

Продолжение табл. 2

1	2	3	4	5
26	cos(2/x)-2sin(1/x)+1/x=0	1 ; 2	Хорд	1.8756
27	0.4+arcstg(x)-x=0	1 ; 2	Итераций	1.2388
28	x+cos1-x=0	0 ; 1	Ньютона	0.4538
29	x(3+sin(3.6x)-1)=0	0 ; 0.85	Хорд	0.2624
30	e^x-e^-x-2=0	0 ; 1	Половинного деления	0.8814

Краткие сведения из теории и примеры решения задач.

Определение нелинейного урвнения.

F(x)=0, где F(x) -функция, нелинейная относительно неизвестного.

Примеры :

₂

а) e^{x +2}-ln(x)+5=0 ;

б) sin(x+5)-tg²(x)-7=0 ;

в) x⁵-4x⁴+3x²-10=0.

Решить нелинейное уравнение - найти значения х : F(x)=0.

1. Метод простых итераций (нахождение корня уравнения x=(x)).

Дано : F(x)=0, xa ; b

Метод простых итераций основан на представлении уравнения F(x)=0 в виде :

x=(x) и многократном применении формулы x_n+1= (x_n) до тех пор, пока соблюдается условие | x_n+1- x_n|  , где - заданная погрешность вычисления корня x. Блок-схема алгоритма представлена на рисунке 5.

Геометрическая интерпритация метода итераций.

При 0 < '(x) < 1 {x_n} сходится к x* c той стороны, с которой расположено начальное приближение (рисунок 3, а и б).

При -1 < '(x) < 1 последовательные приближения {x_n} поочередно расположены с разных сторон от решения x*, рисунок 4, а и б.

При |'(x) | > 1 надо воспользоваться другим численным методом решения нелинейного уравнения F(x)=0.

x* - решение нелинейного уравнения ;

х₀ - начальное приближение.

Рис. 3.

Рис. 4.

Выбор начального приближения : в качестве начального приближения можжет быть выбрано значение X = A или X = B, или X= ( A+B) /2 .

Рис. 5.

Пример. x²-ln(x)-2=0 ;

_{2 2}

F(x) = x² - ln(x) -2 x = e^{x -2} ; (x) = e^{x -2}

2. Метод Ньютона (метод касательных).

Теорема. Пусть функция F(x) при a x  b определена и непрерывна. Пусть имеется два числа x₁ и x₂ : a  x₁ < x₂ b. Если F(x₁) и F(x₂) имеют противоположные знаки, то между x₁ и x₂ существует хотя бы один корень уравнения F(x)=0. (Рисунок 6.)

Уравнение касательной, проведенной к кривой y = F(x) в точке x₀ :

y = F(x₀) + (x-x₀) F’(x₀) ;

F(x₀)

x₁ = x₀ - ------ , где x₁ - точка пересечения

F’(x₀)

касательной с осью абсцисс. Элементы последовательности {x_n} вычисляются по следующему рекуррентному соотношению

F(x_n)

x_n+1 = x_n - ------

F’(x_n)

до тех пор, пока выполняется условие | x_n+1- x_n|  где - заданная погрешность вычисления корня x.

В качестве х₀ выбирается тот конец отрезка [ а ; b ], на котором знаки F(x₀) и F"(x₀) совпадают. Блок-схема алгоритма представлена на рисунке 7.

Рис. 6.

Рис. 7

3. Метод дихотомии.

Дано : F(x)=0, xa ; b

Найти : корень нелинейного уравнения с точностью . Элементы последовательности {x_n} вычисляются по формуле x = ( A + B )/2, а очередной интервал выбирается из условия :

если F(x) * F(A) < 0, то В = х, иначе А = х, рисунок 8, а, б. Элементы последовательности {x_n} вычисляются до тех пор, пока выполняется условие | B -A | >  где  точность нахождения корня уравнения F(x)=0.

Рис. 9