4. Метод хорд.

В этом методе каждое значение x_n+1 находится как точка пересечения оси абсцисс с хордой, проведенной через точки с координатами (F(A),A) и (F(B),B), причем из этих точек фиксируется та, для которой знаки F(x) и F"(x) одинаковы. Если неподвижен конец хорды x = A, то

F(x_n)

x_n+1= x_n - ------------ ( x_n - A),

F(x_n) - F(A)

начальное приближение x₀ = В . Если неподвижен конец хорды х = В, то

F(x_n)

x_n+1= x_n - ------------ ( x_n - В),

F(x_n) - F(В)

начальное приближение x₀=А, рисунок 10, а-г. Вычисления производятся до тех пор, пока | x_n+1 - x_n | , где  - точность вычисления корня уравнения F(x) = 0.

Рис 10.

Блок-схема алгоритма представлена на рисунке 11.

Рис. 11

Примечание. Результат вывести на печать с соответствующим комментарием.

Например,

. . .

170 PRINT “ КОРЕНЬ УРАВНЕНИЯ X^2 - LOG(X) - 2 = 0 С ЗАДАННОЙ “

180 PRINT “ ТОЧНОСТЬЮ Е= “ ; E ; “ ПОЛУЧЕН ЗА “ ; N ; “ ИТЕРАЦИЙ “

190 PRINT “ И РАВЕН Х= “ ; Х

. . .

Индивидуальное задание 3.

Интерполирование функций.

Цель задания - закрепление теоретического материала и преобретение практических навыков, составление алгоритмов приближенного восстановления функции (аппроксимация) в произвольной точке по экспериментальным данным с применением алгебраических многочленов первой, второй и ( N-1)-й степени.

Варианты индивидуальных заданий приведены в табл. 3.

Порядок выполнения задания.

1. Первый пункт задания предполагает воостановление функциональной зависимости по двум экспериментальным точкам, на основе интерполяционного многочлена, представленного в одной из своих форм, баз помощи ЭВМ. Вычислить значение функции в указанной точке.Результат представить графически.

2. Второй пункт задания предполагает восстановление функциональной зависимости по трем экспериментальным точкам, на основе интерполяционного многочлена, имеющего форму, указанную в задании, без помощи ЭВМ. Вычислить значение функции в указанной точке. Результат представить графически.

3. Используя подпрограмму “Интерполирование функции многочленом (представленном в форме, указанной в задании)”, составить алгоритм и написать программу на алгоритмическом языке для вычисления значения функции в заданной точке. Результат представить графически и в виде численного значения, полученного с использованием ЭВМ.

4. Оформить отчет и представить его к защите.

Таблица 3.

Варианты индивидуального задания 3.

№ варианта	№ задания					Функция		y(x)									Интерпо-ляция значение функции		Форма интерполяционного многочлена
1	2						3											4	5
	1		x1	1	-6													y(4)	Ньютона
			y1	7	-2
1	2		x2	-5	1	7												y(5,5)	Лагранжа
			y2	0	-3	10
	3		x3	1.5	2.0	2.5	3.0	3.5	4.0			4.5						y(3,55)	Ньютона
			y3	-3.56	-4.3	-5.8	-4.95	-5.75	-6.15			-8.45
	1		x1	-1	6													y(3)	Лагранжа
			y1	7	-2
2	2		x2	-3	1	5											y(4)		Ньютона
			y2	6	-2	2
	3		x3	4.5	5.0	5.5	6.0	6.5	7.0			7.5					y(6,55)		“Кубический
			y3	-1.56	-2.48	-3.75	-4.81	-5.16	-6.35			-7.16							сплайн“
	1		x1	-1	2												y(1)		Лагранжа
			y1	3	10
3	2		x2	-2	1	4											y(3)		“Кубический
			y2	-1	2	-2													сплайн“
	3		x3	10	11	12	13	14	15			16		17			y(11,55)		Ньютона
			y3	3.7	4.5	5.9	6.1	7.8	8.5			9.4		10.5
	1		x1	1	4												y(2,5)		Лагранжа
			y1	1	3
4	2		x2	-1	2	5											y(4)		Ньютона
			y2	1	3	8
	3		x3	5	6	7	8	9	10			11		12			y(8,5)		Лагранжа
			y3	49.9	56.2	78.5	90.7	101.6	115.9			110.6		120.7
	1		x1	-3	2												y(0)		Ньютона
			y1	-1	5
5	2		x2	1	3	6											y(4)		“Кубический
			y2	2	-3	-2													сплайн“
	3		x3	1.2	2.6	9.8	4.5	5.1	7.0			8.9					y(6,2)		Лагранжа
			y3	15.86	11.56	9.31	8.57	6.41	9.98			10.37
	1		x1	-1	5												y(3)		Ньютона
			y1	5	-1
6	2		x2	1	-2	-5											y(-3,5)		Лагранжа
			y2	5	-1	3
	3		x3	2.6	3.7	4.8	5.9	6.0	7.1			8.2					y(6,5)		Лагранжа
			y3	1.36	2.78	3.46	4.58	5.37	6.91			7.87

Продолжение табл. 3.

1	2										3											4	5
	1		x1	0		5															y(3)		Лагранжа
			y1	3		-1
7	2		x2	2		4		6													y(5)		Ньютона
			y2	4		-2		3
	3		x3	1		10		19		28		37		46							y(20)		“Кубический
			y3	9		6.5		4.1		2.7		1.5		0.9									сплайн“
	1		x1	0		1															y(0,5)		Лагранжа
			y1	-10		2
8	2		x2	1		3		5													y(2)		“Кубический
			y2	-5		1		0															сплайн“
	3		x3	10		15		17		20		25		29				32			y(22)		Лагранжа
			y3	12.1		19.8		25.3		29.7		32.4		36.5				40.1
	1		x1	-1		2															y(1)		Ньютона
			y1	-5		7
9	2		x2	-2		0		2													y(1,5)		Лагранжа
			y2	-5		1		-6
	3		x3	1.35		1.4		1.45		1.5		1.55		16				1.65			y(1,53)		“Кубический
			y3	4.162		4.256		4.353		4.455		4.562		4.673				4.754					сплайн“
	1		x1	0		-3															y(-2)		Лагранжа
			y1	5		-10
10	2		x2	-1		1		3													y(2)		Лагранжа
			y2	5		0		10
	3		x3	1		5		9		13		17		21							y(11,5)		Ньютона
			y3	5.67		6.48		7.31		8.29		9.56		10.47
	1		x1	1		5															y(4)		Ньютона
			y1	-6		10
11	2		x2	0		3		5													y(5)		Лагранжа
			y2	5		0		10
	3		x3	3		5		7		9		11		13							y(1,775)		“Кубический
			y3	21.7		28.3		38.7		41.4		55.9		61.8									сплайн“
	1		x1	-5		7															y(4)		Ньютона
			y1	-3		1
12	2		x2	0		3		7													y(5,5)		Ньютона
			y2	4		-1		1
	3		x3	1.55		1.66		1.77		1.88		1.99		2.10							y(1,775)		Лагранжа
			y3	5.48		6.59		7.36		8.45		9.17		10.49

Продолжение табл. 3.

1	2									3												4		5
	1		x1		-1		3																y(2)	Лагранжа
			y1		7		-2
13	2		x2		-2		1		4														y(2)	Лагранжа
			y2		-1		4		-1
	3		x3		1		2		3		4		5				6						y(4,5)	Ньютона
			y3		5.7		6.9		7.4		8.1		9.8				10.5
	1		x1		5		7																y(6)	Лагранжа
			y1		-1		10
14	2		x2		-3		0		3														y(2,5)	Лагранжа
			y2		-10		2		-15
	3		x3		1.35		1.46		1.57		1.68		1.79				1.80		1.94				y(1,85)	“Кубический
			y3		3.96		4.58		6.77		8.96		7.56				9.48		8.54					сплайн“
	1		x1		-1		3																y(2)	Ньютона
			y1		0		5
15	2		x2		-1		2		5														y(3)	Лагранжа
			y2		0		-1		1
	3		x3		1.37		2.72		7.41		9.85		11.72				15.48		19.74				y(8,5)	“Кубический
			y3		18.327		21.472		29.781		32.674		34.283				40.172		43.298					сплайн“
	1		x1		-2		3																y(1)	Лагранжа
			y1		-1		5
16	2		x2		1		3		7														y(5)	Ньютона
			y2		-1		3		5
	3		x3		2.5		3.6		4.7		5.8		6.9				8.0						y(6,5)	Ньютона
			y3		11.6		12.45		13.57		4.61		15.32				16.21
	1		x1		4		8																y(6)	Лагранжа
			y1		-2		6
17	2		x2		-2		2		6														y(0)	Ньютона
			y2		7		-6		9
	3		x3		2		2.5		3		3.5		4				4.5		5	5.5			y(2,36)	Лагранжа
			y3		1.38		2.35		3.48		4.57		5.86				6.47		7.98	8.36
	1		x1		2		7																y(5)	Лагранжа
			y1		10		-5
18	2		x2		-2		0		2														y(-1)	Лагранжа
			y2		6		4		12
	3		x3		0		0.1		0.2		0.3		0.4				0.5		0.6				y(3,55)	Ньютона
			y3		0		10		4		2		1.5				2		5

Продолжение табл. 3.

1	2									3												4	5
	1		x1	-3			5															y(2)	Ньютона
			y1	4			8
19	2		x2	0			4		8													y(5)	Ньютона
			y2	-2			8		-3
	3		x3	-1			-0.5		0		0.5		1			1.5			2			y(0,25)	Лагранжа
			y3	0			3.6		4.7		5.4		6.3			7.1			8.3
	1		x1	-5			1															y(-3)	Ньютона
			y1	-3			5
20	2		x2	3			6		9													y(7,5)	Лагранжа
			y2	-2			2		-5
	3		x3	3.5			4.6		5.7		6.8		7.9			9.0			10.1			y(6,5)	Лагранжа
			y3	-3.45			-4.48		-5.96		-6.71		-7.35			-8.26			-9.31
	1		x1	5			-2															y(3)	Ньютона
			y1	8			-10
21	2		x2	0			3		6													y(4)	Лагранжа
			y2	2			-3		6
	3		x3	1			10		18		29		40			51			60	73		y(15)	Ньютона
			y3	19			16.5		14.1		12.7		11.5			5.1			-4.6	-15.8
	1		x1	2			6															y(4,5)	Лагранжа
			y1	1			-1
22	2		x2	1			3		7													y(5)	Ньютона
			y2	-1			3		-2
	3		x3	1.335			1.340		1.345		1.350		1.355			1.360						y(1,353)	“Кубический
			y3	4.162			4.256		4.353		4.455		4.562			4.673							сплайн“
	1		x1	-1			4															y(2)	Лагранжа
			y1	3			6
23	2		x2	-2			1		6													y(4)	Лагранжа
			y2	4			-1		7
	3		x3	1			10		18		29		40			51			60			y(21)	“Кубический
			y3	9			6.5		4.1		2.7		1.5			0.9			-1.3				сплайн“
	1		x1	1			5															y(4)	Ньютона
			y1	2			-1
24	2		x2	-1			3		7													y(5)	“Кубический
			y2	1			2		2														сплайн“
	3		x3	10			15		20		25		30			35			40			y(27)	Ньютона
			y3	12.1			19.8		25.3		29.7		32.4			36.9			40.1

Продолжение табл. 3.

1	2											3												4		5
	1		x1	2			-5																y(-4)		Лагранжа
			y1	1			-1
25	2		x2	-7			-5		-1														y(-3)		“Кубический
			y2	1			-3		4																сплайн“
	3		x3	0.5			0.61		0.72		0.83		0.94		1.05		1.16						y(0,85)		Лагранжа
			y3	3.75			4.96		5.99		6.78		7.56		8.31		9.47
	1		x1	-5			5																y(2)		Ньютона
			y1	-1			2
26	2		x2	-1			3		7														y(5)		“Кубический
			y2	2			10		1																сплайн“
	3		x3	1.335			1.340		1.345		1.350		1.355		1.360								y(1,352)		Лагранжа
			y3	4.256			5.368		6.732		7.514		8.962		9.751
	1		x1	2			5																y(3,5)		Лагранжа
			y1	4			-1
27	2		x2	1			3		5														y(4)		Ньютона
			y2	1			5		-1
	3		x3	1.56			2.77		3.98		5.10		6.31		7.52								y(4,5)		“Кубический
			y3	5.78			7.95		9.54		11.41		13.12		15.65										сплайн“
	1		x1	-1			6																y(3)		Ньютона
			y1	5			-3
28	2		x2	-3			0		3														y(1)		Ньютона
			y2	5			-2		10
	3		x3	1			2		3		4		5		6		7				8		y(4,55)		“Кубический
			y3	49.9			59.1		78.5		90.7		99.6		108.3		117.6				130.2				сплайн“
	1		x1	-5			0																y(-3)		Лагранжа
			y1	7			2
29	2		x2	-1			3		7														y(5)		Лагранжа
			y2	-1			2		1
	3		x3	1			11.5		2		2.5		3		3.5		4				4.5		y(3,25)		Ньютона
			y3	0.1			0.225		0.4		0.625		0.9		1.6		7.5				2.963
	1		x1	2			7																y(5)		Ньютона
			y1	10			-5
30	2		x2	0			3		6														y(5)		Ньютона
			y2	-3			4		-1
	3		x3	11.5			12.6		13.7		14.8		15.9		17								y(14,5)		Лагранжа
			y3	7.98			8.56		9.48		10.76		11.41		12.57