4. Теорема (о разложении определителя по строке (столбцу))

Определитель равен сумме произведений всех элементов любой его строки или столбца на их алгебраические дополнения

А=_i=1ⁿa_ijA_ij – по j-ому столбцу

А=_j=1ⁿa_ijA_ij – по i-ой строке

Теорема об умножении определителей

Определитель матрицы А*В равен произведению определителей матрицы А и В АВ=А*В

5. Обратная матрица. Теорема об обратной матрице

Пусть задана квадратная матрица А_n*n. Матрица В_n*n такая, что А*В=В*А=Е наз обратной к матрице А и обозначается А^-1

Теорема об обратной матрице

Квадратная матрица А имеет обратную матрицу тогда и только тогда, когда определитель матрицы А не равен 0 det A0

Обратная матрица единственна и определяется по формуле:

А^-1= (1/det A)*А^*

Где А^* является союзной к матрице А и определяется по формуле

А^*=А_ij^т, т.е. элементами союзной матрицы являются элементы транспонированной матрицы алгебраических дополнений

Следствие:

По теореме о связи минора и алгебраических дополнений обратная матрица равна

А^-1=(1/det A)*(-1)^i+jM_ij^т

6 Поиск обратной матрицы методом союзной матрицы

Обратная матрица методом союзной матрицы находится по формуле:

А^-1= (1/det A)*А^*

Где союзной является матрица: А^*=А_ij^т

Суть метода состоит в поиске А_ij=(-1)^i+jM_ij и составлении из них союзной матрицы А^*. Затем находится обратная матрица А^-1 путём умножения элементов союзной матрицы А^* на отношение 1/det A

Метод союзной матрицы имеет 1 существенный недостаток, он требует слишком много вычислений. Например, для матрицы размером n*n чтобы найти обратную матрицу требуется вычислить n² миноров порядка n-1

Поиск обратной матрицы методом элементарных преобразований

В основе этого метода лежат следующие особенности элементарных преобразований:

1) преобразования 1 типа – умножение i-той строки матрицы А на число 0 эквивалентно умножению матрицы А слева на матрицу:

(i)

1……….

…1…….

L_(i)=………….

……….

…………1 n*n

2) преобразования 2 типа – прибавление i-той строки матрицы А её j-ой строки умноженное на некоторое число 0 эквивалентно умножению матрицы А слева на матрицу:

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

L_(i)=0 0 1… 0 0

0 0 0 0  0

0 0 0 0 0 1

3) преобразования 3 типа – перестановка 2х строк исходной матрицы может быть заменена последовательностью преобразований 1,2 типа

Опишем метод элементарных преобразований:

Суть этого метода состоит в том, что в результате конечной последовательности элементарных преобразований 1,2,3 типа любая матрица А может быть сведена к единичной матрице АЕ. Единственным условием является то, что определитель этой матрицы не должен равняться 0 А0 (такие матрицы называются невырожденными). В результате последовательности преобразований мы получаем L_k L_k-1…L₂ L₁*A=E

Домножим это уравнение справа на матрицу А^-1 получим:

L_k L_k-1…L₂ L₁*A*А^-1=E*А^-1

Т.о. получаем L_k L_k-1…L₂ L₁*Е=А^-1

Т.е обратная матрица автоматически получается из единичной если к ней применить ту же последовательность преобразований, что и при проведении исходной матрицрицы А к единичной матрице

Поиск обратной матрицы методом элементарных преобразований состоит из следующих этапов:

1) Записывается расширенная матрица, которая состоит из матрицы А и единичной матрицы того же порядка (АЕ)_n*2n

2) Над строками полученной матрицы выполняются элементарные преобразования т. о, чтобы на месте матрицы А образовалась матрица Е, тогда та матрица, которая будет стоять на месте единичной матрицы будет образовывать искомую обратную матрицу.