21 Понятие эпсилон-окрестности точки, предельной точки, замкнутого мн-ва, ограниченного мн-ва, точки локального (глобального) и условного (безусловного) экстремума

Мн-во Д Rⁿ наз-ся огр-ным мн-вом, если расстояние ρ(х,у) между любыми двумя его точками х, уД меньше некоторого числа l<Д, т.е

Рассмотрим точку xRⁿ назовём -окрестностью O_(x) этой точки множество точек n-мерного пространства отстоящих от x не далее чем на .

Точка zRⁿ наз предельной точкой множества Д, если существует последовательность, принадлежащих x_nД точек, сходящихся в z. Т.е. для _x_n-z<lim_nx_n=z.

Множество Д наз замкнутым множеством, если оно содержит все свои предельные точки (отрезок)

Множество Д наз компактным множеством, если оно ограничено и замкнуто.

Точка уRⁿ наз-ся точкой безусловного локального экстремума ф-ии f(x), если сущ-ет O_(у), для кот-ой f(у)()f(x) xO_(у) (1)

Говорят, что точка х явл-ся точкой глобального безусловного экстремума ф-ии f(x), если соотношение (1) вып-ся для любой окрестности точки у, т.е. везде, на всем пространстве.

Говорят, что точка у явл-ся точкой условного локального (глобального) экстремума ф-ии f(x), если соотношение (1) вып-ся при дополнительном усл-ии: хД.

22 Понятие частной производной ф-ии, стационарной ф-ии, градиента и матрицы Гессе

Говорят, что функция f(x) дифференцируема в точке zRⁿ, если у неё в этой точке существуют все частные производные 1-ого порядка:

df(z)/dx_j=lim_j0(f(z₁,z₂,…z_j+j…z_n)-f(z₁,z₂,…z_j…z_n))/j.

При взятии частной производной по пер-ной х_i считается, что все другие пер-ные в этот момент явл-ся константами.

Точка zRⁿ в которой равны 0 все частные производные 1ого порядка функции f(x) наз стационарной точкой этой функции.

Квадратная матрица H(z)=(h_ij(z)) элементы которой определяются значениями частных производных II порядка функции f(x) в точке z, т.е. h_ij(z)=²f(z)/x_ix_j i,j=1,n наз матрицей Гессе функции f(x) в точке x

Градиентом f(x) функции f(x) наз вектор компоненты которго равны частным производным 1-ого порядка данной функции в точке x ^Tf(x)=(f(x)/x₁, f(x)/x_2,… f(x)/x_n).

23 Понятие квадратичной формы м-цы. Понятие положительной (отрицательной) определённости матрицы

Вырвжение G(B,x)=x^TBx=_i=1ⁿ_j=1ⁿb_ijx_ix_j, гд B=(b_ij) – квадратная матрица n*n называется квадратичной формой матрицы B.

Квадратная матрица B наз положительно (неотрицательно) определённой, если справедливо соотношение x0G(B,x)= _i=1ⁿ_j=1ⁿb_ijx_ix_j>()0 (1)

Квадратная матрица B наз отрицательно (не положительно) определённой, если неравенство в соотношении (1) противоположно.

24 Понятие вектор-функции и матрицы Якоби

Ф-ия g(x) наз-ся m-мерной вектор-ф-ей,если множ-во ее значений принадлежит m-мерному векторному пространству,т.е. она представляет собой m-мерный вектор, компоненты кот-го- суть вещ-й ф-ии ,т.е.

g^T(x)=(g₁(x),g₂(x),…g_m(x)).

М-цей Якоби Rg(z) m-мерной вектор-ф-ей g(z) наз-ся м-ца р-ра m×n, Эл-ты кот-й r_ij опр-ся соот-ем:

r_ij=g_i(z)/x_j; i=1,m; j=1,n