1.2.2.3. Некоторые понятия теории множеств

При изложении теоретических основ приближённых математических методов используются некоторые понятия теории множеств. Напомним их.

Определения понятия множества мы вводить не будем, так как имеющиеся определения по необходимости предельно абстрактны и не нужны для понимания дальнейшего материала; нам будет достаточно полуинтуитивного понимания, вынесенного из средней школы. Ограничимся напоминанием отдельных понятий: конечное множество (1.1), бесконечное множество (1.2), счетное множество (1.3), несчетное множество (1.4), дискретное множество (1.5).

1.2. Бесконечное множество (адрес файла Блок 4_)

Бесконечным множеством называется такое множество, количество элементов которого бесконечно велико.

Вернитесь к тексту

1.1. Конечное множество (адрес файла Блок 4_)

Конечным множеством называется множество, количество элементов которого конечно.

Вернитесь к тексту

1.3. Счётное множество (адрес файла Блок 4_)

Счётным множеством называется такое бесконечное множество, элементы которого можно последовательно неограниченно нумеровать (поставить во взаимно однозначное соответствие со множеством натуральных чисел – номеров).

Вернитесь к тексту

1.4. Несчётное множество (адрес файла Блок 4_)

Несчётным множеством называется такое бесконечное множество, элементы никакой части которого невозможно перенумеровать.

Вернитесь к тексту

С точки зрения нашего спецкурса интересны такие примеры:

- конечных множеств – множество узлов фермы или рамы, множество членов конечной последовательности, множество членов конечного отрезка ряда;

- счётных множеств – множества элементов бесконечной последовательности, множество элементов ряда, множество частичных сумм ряда;

- несчётных множеств – множества точек отрезка произвольной длины, множества точек произвольной области на поверхности или в пространстве, множества возможных значений механических характеристик материалов или интенсивностей нагрузок и воздействий.

Приближённое моделирование процессов на несчётных множествах процессами на дискретных множествах и составляет сущность приёмов дискретизации. Естественно, при выполнении практических расчётов используются только конечные множества (для операций на счётных множествах никогда не хватит ни памяти компьютера, ни времени на выполнение вычислений). Счётные множества используются для аналитических исследований как предельный случай.

1.2.2.4. Некоторые понятия функционального анализа

Теоретической основой численных методов является математическая дисциплина, которая называется функциональным анализом. Она возникла в 20-х годах прошлого века как обобщение некоторых положений элементарной геометрии, векторной и линейной алгебры, математического анализа, теории дифференциальных уравнений, теории интегральных уравнений. Подсказываемые функциональным анализом аналогии с этими привычными положениями стимулируют интуитивное принятие решений в далёких от них областях. В процессе своего развития функциональный анализ выработал мощный математический аппарат, без которого просто невозможны ни решение важнейших проблем самой математики, ни разработка, понимание и грамотное применение численных методов. Для дальнейшего необходимо ознакомиться с некоторыми достаточно элементарными определениями и положениями функционального анализа.

Одним из основных, наиболее часто используемых в численных методах, понятий является понятие пространства (1.6). Оно является очень далёким обобщением привычного нам одноимённого понятия элементарной геометрии. Так пространство элементарной геометрии может рассматриваться как множеством своих точек, так и абстрактное пространство является множеством элементов неопределённой абстрактной природы. Для геометрического пространства используются понятия точки, системы координат, расстояния, вектора, ортогональности, проектирования и многие другие. Для наиболее важных для нас пространств функционального анализа вводятся (с большой пользой для приложений) обобщения этих понятий. В рамках самого функционального анализа на абстрактном уровне, не конкретизируя природу элементов пространства, а только постулируя их свойства, исследуются те или иные ситуации и устанавливаются различные математические факты, которые часто после конкретизации их природы оказываются полезными в приложениях. Конкретные примеры элементов пространств, важных в приложениях – векторы, функции, вектор-функции. Но более интересные пространства возникают, когда в них вводятся дополнительные условия. В качестве таких условий могут выступать отношения (например, отношения порядка – «предшествующий – последующий», «больший – меньший», «дальше – ближе») или операции (обобщения операций типа арифметических операций, определения длины вектора, дифференцирования, интегрирования и т.п.), а также некоторые другие условия, в рамках настоящего курса не рассматриваемые. Кроме того, элементами пространства могут быть другие пространства.

Приведём примеры пространств, используемых в дальнейшем изложении.

Пространство - множество векторов (в смысле линейной алгебры), содержащих компонент каждый.

Пространство C – множество непрерывных функций ( , - множества функций, непрерывных на , соответственно на ).

Пространство - множество функций, непрерывных вместе со своими первыми производными (, - см. выше).

Пространство - множество вектор-функций с количеством компонент , причём каждая компонента непрерывна вместе со своими первыми производными (указания на область определения – как выше).

Пространство (можно - множество функций, для которых на существует интеграл

.

Одним из основных понятий математического и функционального анализа является знакомое из курса прикладной математики понятие функции (1.7). Должны быть указаны два множества чисел – область определения функции и её область значений. Функция каждому числу из своей области определения ставит в соответствие (обычно – однозначное соответствие) некоторое число из своей области значений.

Одним из обобщений понятия функции является понятие функционала (1.8). Для него также указывается область определения и область значений, но областью определения функционала является уже не множество чисел, а некоторое множество функций; область его значений – по-прежнему числовое множество. Примеры функционалов: потенциальная энергия деформации изгибаемого стержня с аргументом - функцией прогибов; работа постоянной по времени нормальной нагрузки на стержень интенсивности с двумя аргументами ,. И потенциальная энергия в состоянии, задаваемом прогибом , и работа нагрузки к моменту, когда прогиб будет описываться этой функцией, - это числа, и они зависят не от чисел, а от функций. То – есть, являются функционалами.

Более общим понятием является понятие оператора (1.9). Оператор устанавливает соответствие между любыми элементами, абстрактными (природа которых никак не конкретизирована) или такими, которые заданы указанием на их смысл (векторами, функциями и т.д.), принадлежащими к двум множествам (возможно разной природы) – области определения и области значений..

Если каждому элементу поставлен в соответствие некоторый элемент , а соответствующий оператор назван оператором , это записывается в виде . Про такой оператор говорят, что он действует из в ., . Элемент называют образом элемента , который, в свою очередь, - прообразом элемента . Функция и функционал – частные случаи оператора с областями определения, заданными в числовом множестве и на множестве функций и с областями значений, заданными в числовом множестве. Иногда в специальной литературе функцией называют и собственно функцию, и функционал, и оператор – соответствие между множествами любой природы (отображение множеств любой природы друг на друга).

1.9. Оператор (адрес файла Блок 4_)

Оператором называется закон, который каждому элементу одного множества (области определения оператора, множества прообразов) ставит в соответствие элемент в общем случае другого множества (области значений оператора, множества образов).

Вернитесь к тексту