- •Содержание
- •1. Основные теоретические положения
- •1.1. Непрерывные случайные распределения. Плотность распределения
- •Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •Свойства математического ожидания и дисперсии.
- •Медианой Me(X) непрерывной случайной величины называют то ее возможное значение, которое определяется равенством
- •Некоторые распределения непрерывных случайных величин
- •Распределение функции одного случайного аргумента
- •2. Теоретические упражнения
- •3. Индивидуальные задания
- •3.1 Задание 1
- •3.2 Задание 2
- •3.3 Задание 3
- •3.4. Задание 4
- •Условия к заданию 1
- •Продолжение табл. 1
- •Условия к заданию 2
- •Условия к заданию 3
- •4. Примеры решения задач
- •Математическое ожидание
- •5. Применение эвм
- •В нашем случае на эвм находим
- •6. Контрольные вопросы
- •Библиографический список
-
2..
-
Числовые характеристики непрерывных случайных величин
-
Математическим ожиданием M(X) непрерывной случайной величины X называют определенный интеграл:
, если [a,b].
, если R.
Дисперсией D(X) непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения X-M(X).
, где .
, где .
Свойства математического ожидания и дисперсии.
Если X и Y взаимно независимые СВ, а C - постоянная величина, то:
-
. 1. .
-
. 2. .
-
. 3. .
4.. 4. .
5. .
Средним квадратическим отклонением непрерывной случайной величины, называется квадратный корень из дисперсии
.
Если Y=(X)- функция случайного аргумента X, возможные значения которой принадлежат всей оси Ox, то
В частности, если возможные значения принадлежат интервалу (a,b), то
.
Начальный и центральный теоретические моменты порядка k непрерывной случайной величины X определяются равенствами:
; .
Модой M0(X) непрерывной случайной величины X называют то ее возможное значение, которому соответствует локальный максимум плотности распределения.
Медианой Me(X) непрерывной случайной величины называют то ее возможное значение, которое определяется равенством
.
Геометрически медиану можно истолковать как точку, в которой ордината делит пополам площадь, ограниченную кривой распределения.
-
Некоторые распределения непрерывных случайных величин
I. Равномерное распределение. Говорят, что CB X имеет равномерное распределение на участке (a,b), если ее плотность f(x) на этом участке постоянна:
Математическое ожидание и дисперсия для равномерного распределения имеют вид:
; .
II. Нормальное распределение. Говорят, что непрерывная CB X имеет нормальное распределение, если ее плотность имеет вид , где а есть математическое ожидание, -среднее квадратическое отклонение.
M(X) = a, (X) = .
Плотность нормированного распределения имеет вид:
, где M(X)=0,
Функция нормированного распределения:
.
Тогда - вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины.
- вероятность заданного отклонения.
- правило трех сигм.
III. Показательное распределение. Говорят, что непрерывная CB X имеет показательное (экспоненциальное) распределение, если плотность , где -постоянная положительная величина.
Функция распределения показательного закона:
Числовые характеристики для показательного закона распределения: .
Функцией надежности называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы элемента за время, длительностью .
Показательным законом надежности называют функцию надежности, определяемую равенством , где -интенсивность отказов.
-
Распределение функции одного случайного аргумента
Если каждому возможному значению СВ X соответствует одно возможное значение СВ Y, то Y называют функцией случайного аргумента X и записывают .
Если X- непрерывная СВ, заданная плотностью распределения , и если - дифференцируемая строго возрастающая или строго убывающая функция, обратная функция которой , то плотность распределения находят из равенства
.