§1.5. Уравнения в полных дифференциалах.

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка, записанное в дифференциальной форме (1), где функции - непрерывно дифференцируемы на . Предположим, что левая часть уравнения (1) является полным дифференциалом некоторой функции . В этом случае уравнение (1) называют уравнением в полных дифференциалах.

Теорема.

Для того, чтобы выражение было полным дифференциалом некоторой функции, необходимо и достаточно, чтобы всюду в области имело место равенство:

(2)

Предположим, что условие (2) для уравнения (1) выполняется. Тогда (1) можно переписать в виде: . Тогда решение уравнения (1) будет иметь вид: , где - произвольная постоянная.

Пример:

Общее решение:

.

§1.6. Дифференциальные уравнения второго порядка.

. Дифференциальные уравнения второго порядка.

Это уравнения вида:

(1)

В некоторых случаях это уравнение можно разрешить относительно, производной:

(2)

Простейший случай такого уравнения . Найдем решения:

Дифференциальные уравнения второго порядка имеют бесчисленное множество решений, которые даются формулой , содержащей 2 производные постоянные. Эта совокупность решений называется общим решением дифференциального уравнения.

Частное решение уравнение отыскивается при помощи задания начальных условий:

Геометрический смысл начальных условий:

Помимо точки , через которую должна проходить интегральная кривая, мы задаем еще угловой коэффициент касательной к этой кривой.

Замечание. Так как общее решение уравнения второго порядка зависит от двух произвольных постоянных, то через данную точку проходит бесчисленное множество интегральных кривых, лишь одна из которых имеет заданный угловой коэффициент.

Теорема (существования и единственности решения задачи Коши)

Если функция непрерывна в окрестности значений , то уравнение (2) имеет решение такое, что . Если, кроме того, непрерывны и частные производные , то это решение будет единственным.

Пользуясь теоремой, можно например, сразу сказать, что уравнение имеет единственное решение при начальных условиях .

. Частные случаи уравнений второго порядка.

Рассмотрим частный случай ДУ второго порядка, легко приводимые к уравнениям первого порядка.

а) Правая часть уравнения не содержит и :

Интегрируя дважды, получаем общее решение уравнения:

б) Правая часть не содержит искомой функции :

Положим в этом уравнении , тогда и, подставляя в уравнение, получим:

- уравнение первого порядка, разрешенного относительно производной.

Пример:

в) Правая часть не содержит .

Положим

- уравнение первого порядка относительно функции с аргументом .

Решение этого уравнения будет иметь вид:

А искомое решение получим из уравнения с разделяющимися переменными

Пример

:

§1.7. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка.

. Общие свойства.

Определение Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и её производных.

(1)

Если , то уравнение (1) называют линейным однородным уравнением. Иначе – неоднородным уравнением.

Если в некотором интервале функции непрерывны, то уравнение (1) при начальных условиях , где , имеет единственное решение, удовлетворяющее этим условиям. Это следует из того, что к уравнению (1), записанному в виде , применима теорема о существовании единственного решения.

Рассмотрим уравнение (1) без правой части.

(2)