§2.5. Положительные ряды.

Ряд называется положительным, когда все его члены .

Эти ряды интересны тем, что для произвольного ряда, рассматривая ряд из абсолютных величин, получим положительный ряд.

. Для положительного ряда кроме критерия Больцано-Коши есть более простой критерий.

Теорема 1.Для положительного ряда:

а) сумма ряда всегда существует, причем ;

б) эта сумма конечна, если множество частичных сумм ограничено сверху, и бесконечна в противном случае.

Теорема 2 (Критерий сходимости положительного ряда).

Для того, чтобы положительный ряд сходился необходимо и достаточно, чтобы множество его частичных сумм было ограничено.

. Теоремы сравнения для положительных рядов.

Пусть даны два ряда (А) и (В).

Теорема 1. Если, начиная с некоторого номера , выполняется, что , то из сходимости ряда (В) следует сходимость ряда (А) и из расходимости (А) следует расходимость (В).

Теорема 2. Если с некоторого номера выполняется , то из сходимости ряда (В) следует сходимость ряда (А) и из расходимости ряда (А) следует расходимость ряда (В).

Доказательство:

Пусть - выполняется

Теорема 3. Если существует , то:

1) при сходимость ряда (А) равносильна сходимости ряда (В);

2) при из сходимости (В) следует сходимость (А) и из расходимости (А) следует расходимость (В);

3) при из сходимости ряда (А) следует сходимость (В) и расходимости (В следует расходимость (А)).

Для применения признаков сравнения используются ряды, о сходимости и расходимости которых нам известно: в качестве таких рядов часто используют обобщенный гармонический ряд , который .

. Признаки Коши и Даламбера для положительных рядов.

Рассмотрим ряд (А). Будем сравнивать его по теореме 1 с суммой членов геометрической прогрессии (Q). Ряд (Q) сходится при .

Теорема1. Если существует , то:

1) если , ряд сходится;

2) если , ряд расходится;

3) - неопределенный случай.

Теорема 2. Если существует , то:

1) если , ряд сходится;

2) если , ряд расходится;

3) - неопределенный случай.

Примеры:

1)

Исследуем на сходимость по правилу Коши:

ряд сходится.

§2.6. Признаки сходимости знакочередующегося ряда.

Определение 2. Ряд называется знакочередующимся, если знак каждого последующего члена ряда противоположен знаку предыдущего. Если считать, что первый член ряда положителен (а это всегда можно сделать, умножив ряд на -1) и обозначив абсолютную величину , то знакочередующийся ряд можно записать следующим образом:

Теорема (признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда)

Если абсолютные величины членов ряда монотонно убывают и предел , то ряд сходится.

Знакочередующиеся ряды, у которых абсолютные величины членов ряда монотонно убывают, называют Лейбницевского типа. Таким образом, стремление к нулю общего члена для рядов лейбницевского типа необходимо и достаточно для сходимости.

Тема 3. Функциональные последовательности и ряды.

Рассмотрим последовательность функции , определенных на множестве .

Определение. Ряд , членами которого являются функции, называется функциональным рядом на множестве .

Разложение функций в ряды, члены которых, вообще говоря, проще, чем разлагаемые функции, используется при вычислении и исследовании функций, при интегрировании, при решении дифференциальных уравнений.