- •Лист замечаний
- •Введение
- •1 Кинематика плоского движения твердого тела
- •1.1 Исходные данные и рисунок
- •1.2 Решение
- •1.3 Решение задачи на эвм
- •2.Динамика механической системы
- •2.1 Условие
- •2.2 Исходные данные и рисунок
- •2.3Решение по теореме об изменении кинетической энергии.
- •2.4 Решение задачи по общему уравнению динамики
- •2.5 Решение задачи по уравнению Лагранжа второго рода
- •2.6 Решение задачи на эвм Список использованной литературы
- •Оглавление
1.3 Решение задачи на эвм
2.Динамика механической системы
2.1 Условие
Механическая система движется под действием сил тяжести первого тела. Массами нитей пренебречь. Силы сопротивления в подшипниках не учитывать. Диск (каток, колесо) считать сплошным однородным телом, если радиус инерции для него не задан. Все тела в системе абсолютно твердые. Нити нерастяжимые.
-
Скорость центра масс тела 1 в тот момент времени, когда он переместиться на расстояние S.
-
Ускорение центра масс тела 1
Задачу решить тремя способами:
- по теореме об изменении кинетической энергии системы. Проверить результаты расчета кинетической энергии отдельных тел и всей системы, а также работ внешних сил и моментов сил на компьютере в вычислительной лаборатории на кафедре теоретической механики;
- по общему уравнению динамики;
- по уравнению Лагранжа. Провести сравнение коэффициентов в выражении кинетической энергии отдельных тел системы с коэффициентами в выражениях работы сил и моментов сил инерции этих тел соответственно.
2.2 Исходные данные и рисунок
Дано: M1 = 9m, M2 = m/2, M3 = 3m, M4 = m/4, R2 = 0,20 , i2 = 0,15 , α = 300, β = 300 , fкач. = 0,25 см, S = 2м.
.
Тело 4 состоит из 4 колёс.
R1 = 0,15м; R4 = 0,15м; r2 = 0,5R2
Рисунок 4 – Расчетная схема
2.3Решение по теореме об изменении кинетической энергии.
2.3.1Теория
По теореме об изменении кинетической энергии системы
T – T0 = ∑ + ∑ ,
Где T, T0- кинетическая энергия системы в конце и в начале перемещения центра масс тела 1 из состояния покоя на расстояние S;
∑ - сумма работ внешних сил и моментов сил на том же перемещении;
∑ - сумма работ внутренних сил и моментов сил на том же перемещении.
По условию задачи T0 = 0, так как система приходит в движение из состояния покоя;
∑ =0, так как тела в системе абсолютно твёрдые и относительное движение тел в системе отсутствует (нити нерастяжимые, подшипники без трения, качение тел по поверхностям и нитям без скольжения).
Кинетическая энергия системы T в конце перемещения равна сумме кинетических энергий отдельных тел:
T = T1+T2+T3+4T4.
Для расчёта кинетической энергии тел используются следующие формулы:
Для тела, совершающего поступательное движение,
T = ,
Где M – масса тела;
V – Скорость поступательного движения тела;
Для вращающегося вокруг неподвижной оси Z тела,
T = ,
Где - момент инерции тела относительно оси вращения;
ω- угловая скорость тела;
для тела, совершающего плоское движение,
T = + ,
Где M – масса тела;
VC - скорость его центра масс;
JCZ – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс С перпендикулярно плоскости движения;
ω- угловая скорость тела.
2.3.2 Найдем кинетическую энергию тел
Тело 1 совершает плоское движение:
T1 = + = + = + = 4,5 + 2,25 = 6,75 (2.1)
Где ω1= V1/R1 ; J1 =
Тело 2 вращается вокруг неподвижной оси и имеет переменное сечение (ступенчатый шкив):
T2 = = = = 0,5625 m (2.2)
Где ω2 = V2/R2 = 2V1/R2
Тело 3 движется поступательно:
T3 = = = 6 (2.3)
Где V3 =2V1
Каждое из четырёх совершает плоское движение:
4T4=4 + 4 =4 + =4 + = 4*0,5= 3 (2.4)
Где ω4 = VС/R4 .
Кинетическая энергия системы равна
T = T1+T2+T3+4T4 =6,75 + 0,5625 m + 6 + 3 = 16,3125 (2.5)
2.3.3. Найдем работу внешних сил
Для расчёта суммы работ ∑ - внешних сил и моментов сил разделяем эти силы на активные и реакции связей и показываем на рисунке:
Рисунок 5 – Определение направлений скоростей и сил
Работы сил тела 1:
Работа силы тяжести тела 1 вычислим по формуле
AP1 = +P1H1 = M1g sin α S = 9m * 9,81 * sin 300 *S = 9*9,81*0,5 * m*S = 44,145 m*S, (2.6)
Где P1 = 9mg
H1 =S*sin α = S*sin 300
Работа будет положительной т. к. тело опускается.
Aтр.ск. = 0, так как точка приложения силы находится в мгновенном центре скоростей.
= fкач. * N1 = fкач. * 9mg * cosα; (2.7)
Отсюда = - * ᵠ1 = - = -2,5 * 10-3 *9m * 9,81 * 0,866 * = - 1,2744 mS (2.8)
Работы сил тела 2:
Работа силы тяжести тела 2 вычислим по формуле
, т.к. точка приложения силы не перемещается
Работы сил тела 3:
Работу силы тяжести тела 3 вычислим по формуле
; (2.9)
Работы сил тела 4:
AP4 =- *g*sinβ*S4 = -*0,5*2= -2,4525mS (2.10)
4 AP4 = -9,81mS (2.11)
; (2.12)
; (2.13)
Работа отрицательна, т.к. этот момент препятствует движению тела
4 =-1,1328mS (2.14)
Найдем сумму работ внешних сил
(2.15)
2.3.4 Определим скорости и ускорения тела 1
Определение скорости
По теореме об изменении кинетической энергии системы
где =0 т. к. система начинает движение из состояния покоя;
=0 т. к. тела в системе абсолютно твердые и относительное движение тел в системе отсутствует (нити не растяжимые, подшипники без трения, качения тел по поверхностям и нитям без скольжения).
(2.16)
м/c (2.17)
Найдем ускорение
Продифференцируем уравнение (2.16) по времени
(2.18)
м/c2 (2.19)