- •Лист замечаний
- •Введение
- •1 Кинематика плоского движения твердого тела
- •1.1 Исходные данные и рисунок
- •1.2 Решение
- •1.3 Решение задачи на эвм
- •2.Динамика механической системы
- •2.1 Условие
- •2.2 Исходные данные и рисунок
- •2.3Решение по теореме об изменении кинетической энергии.
- •2.4 Решение задачи по общему уравнению динамики
- •2.5 Решение задачи по уравнению Лагранжа второго рода
- •2.6 Решение задачи на эвм Список использованной литературы
- •Оглавление
2.5 Решение задачи по уравнению Лагранжа второго рода
Уравнения Лагранжа второго рода являются дифференциальными уравнениями движения механической системы в обобщенных координатах:
(2.36)
где Т - кинетическая энергия системы в абсолютном движении, выраженная в обобщенных координатах;
- i-я обобщенная координата;
- i-я обобщенная скорость;
- обобщенная сила по i-й обобщенной координате;
n - число степеней свободы системы.
Эти уравнения являются дифференциальными уравнениями второго порядка относительно обобщенных координат, дифференциальными уравнениями первого порядка относительно обобщенных скоростей и алгебраическими линейными уравнениями относительно обобщенных ускорений.
Уравнения Лагранжа можно получить из общего уравнения динамики системы, переходя в последнем к обобщенным координатам.
Число независимых уравнений Лагранжа равно числу степеней свободы механической системы.
Поскольку в общем уравнении динамики содержатся работы трех групп сил: активных, реакций связей и сил инерции, а правая часть уравнения Лагранжа представляет собой обобщенную силу, которая рассчитывается через работы только двух групп сил: активных и реактивных связей, то, следовательно, работы сил инерции записаны в левой части уравнения Лагранжа в виде:
(2.37)
2.5.1 Система имеет одну степень свободы. Обобщенная координата S.
2.5.2 Уравнение Лагранжа имеет вид:
. (2.38)
2.5.3 Кинетическая энергия системы
. (2.39)
Тело 1 совершает поступательное движение
. (2.40)
Тело 2 вращается вокруг оси, проходящей через центр масс этого тела и перпендикулярной плоскости симметрии:
. (2.41)
Тело 3 совершает плоское движение:
. (2.42)
. (2.42)
Проведем сравнение в таблице 3 этих результатов с расчетами работ сил инерции, которые проведены при составлении общего уравнения динамики.
Таблица 2 – Результаты сравнения
№ тела |
Коэффициент при квадрате обобщенной скорости в выражении кинетической энергии |
Коэффициент при ускорении в выражениях работы сил и моментов сил инерции |
||
1 |
(в поступательной части плоского движения) (во вращательной части плоского движения) |
9m(в работе главного вектора сил инерции) (в работе главного момента сил инерции) |
||
2 |
1,125m |
|||
3
4 |
(в поступательной части плоского движения) m(во вращательной части плоского движения) |
|
(в работе главного вектора сил инерции)
2m(в работе главного момента сил инерции)
|
|
Кинетическая энергия системы равна
(2.43) (2.52)
. (2.44)
2.5.4 Вычислим производные:
(2.45)
так как координата S не входит в выражение T.
. (2.46)
2.5.5 Выполним рисунок 9 и расставим силы и моменты сил
Рисунок 7- Расстановка сил и моментов сил для
решения по уравнению Лагранжа
2.5.6 Вычислим сумму работ
(2.47)
2.5.7 Тогда уравнение Лагранжа примет вид:
(2.48)
= = 0,0766 м/с2 (2.49)
Сократим на m, а из числителя вынесем g и подставим значения
= 0,0766 м/с2 см/c2 (2.50)
Теперь найдем скорость.
Внешние силы, действующие на механическую систему, постоянные, поэтому движение системы равнопеременное.
Для расчета скорости центра масс тела 1 в тот момент времени , когда он переместится на заданное расстояние S, используем закон равнопеременного движения при начальной скорости, равной нулю
см/c2 (2.51)