§ 9. Некоторые нелинейные функции регрессии

Несмотря на относительную распространенность линейных функций регрессии, во многих случаях они не могут быть использованы для описания связи между конкретными явлениями. Такая ситуация возникает в тех случаях, когда теория явления дает описание связи, отличное от линейного, или форма корреляционного поля показывает явно нелинейный характер зависимости. В некоторых случаях специально требуется выявить свойства взаимосвязи, не отражаемые линейным уравнением (например, выпуклость).

Рассмотрим некоторые наиболее распространенные случаи.

Корреляционное поле на рис. 9.1 свидетельствует о существенно нелинейном характере связи. По мере приближения значений x к нулю значения y возрастают очень сильно. В таких случаях могут быть использованы функции регрессии, обращающиеся в бесконечность при x = 0. Простейшая функция такого рода описывает гиперболу вида

Рис. 9.1

Применим к данному случаю систему нормальных уравнений (5.2), справедливую для любых функций регрессии. В нашем случае

частные производные равны

Отсюда получаем систему нормальных уравнений для гиперболы:

Если исследуемая зависимость характеризуется непропорциональным ростом результативного признака y по мере увеличения признака-фактора x (рис. 9.2), то выпуклость функции, не обнаруживаемая линейным уравнением связи, может быть выявлена при описании зависимости трехчленом второй степени:

Рис. 9.2

Функция регрессии содержит три параметра, следовательно, требуется составить систему из трех нормальных уравнений. Соответствующие частные производные равны:

Система нормальных уравнений принимает следующий вид:

Более сложные свойства зависимостей могут быть отражены полиномами более высоких степеней:

Для этого случая:

и система нормальных уравнений принимает вид:

Обратимся к примеру. В § 3 была рассмотрена зависимость продолжительности сборки узла от числа входящих в него деталей. Эмпирическая регрессия (рис. 3.1) показывает, что продолжительность сборки растет быстрее, чем число деталей в узле. Этому можно дать естественное объяснение. В узле, состоящем только из двух деталей А и Б, возможно лишь соединение АБ. Если в узел входят три детали А, Б и В, число попарных соединений равно трем: АБ, АВ и БВ. Для четырех деталей возможно уже шесть попарных соединений: АБ, АВ, АГ, БВ, БГ и ВГ. Для пяти деталей это число достигает уже 10 и т. д. Конечно, не все возможные попарные соединения реализуются в каждой сборке, но, во всяком случае, число соединений может расти быстрее, чем число деталей, входящих в узел. Для того, чтобы увидеть выпуклость книзу исследуемой зависимости, будем искать уравнение регрессии в виде полинома второй степени:

Для иллюстрации расчетов рассмотрим упрощенный пример: представлены данные всего по пяти узлам (в действительности определение трех параметров уравнения регрессии всего по пяти элементам совокупности должно привести к статистически неустойчивым результатам, так что рассматриваемый пример носит чисто учебный характер). Исходные данные и промежуточные расчеты сведены в таблицу 9.1.

Таблица 9.1. Расчет параметров полинома 2-й степени

Номер узла
1	3	9	9	27	81	27	81	8.8
2	4	10	16	64	256	40	160	10.0
3	5	12	25	125	625	60	300	12.3
4	6	17	36	216	1296	96	576	15.7
5	7	20	49	343	2401	140	980	20.2
Сумма	25	67	135	775	4659	363	2097	67.0