6.5. Погашение долгосрочной задолженности заключительной уплатой

Иногда в условиях погашения долгосрочной задолженно- ст и оговаривается величина срочной уплаты и по ней рассчи-тывается срок погашения долга, т.е. из формулы (6.23) опре-деляют значение n: S = (α× (1-(1+q) ^-n) )/ q (1+q)^–n  = 1-(S×q)/α

Прологарифмируем обе части этого равенства: - –n ln(1+q) = ln(1-(S×q)/α) n = - (ln(1-(S×q)/α))/( ln(1+q))

Вычисленное по этой формуле значение п обычно получа-ется нецелым. Поэтому при составлении плана погашения задолженности заключительная уплата в последнем, неполном году должна быть уменьшена так, чтобы был выплачен остаток долга и соответствующие этому остатку проценты.   Рассмотрим пример. Пример 9.   В условиях предыдущей задачи предположим, что должник и кредитор договорились, не о том, что долг должен быть возвращён в течение пяти лет, а о том, что срочная уплата будет равна 70000 руб.    Составить план погашения долга. Решение. Определим по формуле (6.24) срок погашения долга: n =-(ln (1- (300 000×0.05)/ 70 000)) / (ln(1+0.05)) = 4.942841667

Итак, n = 4.94. Первые 4 года срочная уплата равна 70 000 py6 В последнем году срочная уплата меньше, так как год неполный. План погашения долга приведён в отдельной таблице. Заключительная уплата в пятом году должна быть равна сумме остатка долга на начало пятого периода и начисленных на этот остаток процентов в пятом году, т. е.: α = 62 943 + 3147 = 66090 руб.

Номер	Остаток	Срочная	Сумма	Сумма
года	долга	уплата	выплачен-	погашения
t	на начало	а	ных	долга
	t-ro года		в t-ом году	в t-ом году
	(руб.)		процентов
			(руб.)
1	300000	70000	15000	55000
2	245000	70000	12250	57750
3	187250	70000	9362	60638
4	126612	70000	6331	63669
5	62943	66090	3147	62943

5.6. Вычисление процентной ставки финансовой ренты

Пусть, предприниматель желает накопить определённую сумму S к определённому сроку, сделав через равные промежутки времени n равных вкладов в банк размером Rруб. каждый; встает вопрос: какой процент на вложенные деньги надо получать для этого от банка? В этом случае по известным значениям S, R, n можно найти значение sn;j, пользуясь формулой (5.2), а затем по этому значению вычислить процентную ставку i. Другой пример: вкладчик желает положить определённую сумму Sна счёт в банке, чтобы после этого иметь возможность снимать со своего счёта через равные промежутки времени п раз сумму, равную Rруб.; вкладчику интересно узнать, сколько процентов при этом должен платить банк на пложенные деньги. В этом случае по известным значениям А, Rи n можно найти значение аn;i по формуле (6.2), а затем по этому значению вычислить ставку r. В обоих приведённых примерах надо решить относительно i одно из уравнений sn;i =qили an;i = q,(6.25) где q— известное значение sn; j или an; iи n — известное число. Аналогичные уравнения приходится решать и в других за- дачах; некоторые из них рассматриваются в разделе 6. Уравнения (6.25) являются степенными уравнениями и имеют, как правило (при n > 2), высокую степень. Такие уравнения можно решать интерполяционными методами, позволяющими найти приближённые значения их корней с любой                                                                                        степенью точности. Например, при n= 5 уравнение sn; i= qимеет вид: ((1+i)5-1)/i= q, или (1 +i)5 — qi — 1 = 0, или

i⁵ + 5i⁴ + 10i³ + 10i² + (5 - q)i- 1 = 0. Cоответствующие вычисления могут быть легко проведены с помощью специального финансового калькулятора или с помощью любого пакета электронных таблиц на персональном компьютере в Excel.

	Пример 10. Для возвращения долга необходимо накопить за 10 лет 2 млн. руб. Ежегодно должник может вносить в банк для этой цели 150 тыс. руб. Под какую ставку сложных процентов необходимо вкладывать эти деньги, чтобы накопить требуемую сумму в указанный срок? Решение. Необходимо за 10 лет получить наращенную сумму S= 2 млн. руб. Применяя формулу (4.2), находим коэффициент наращения: s 10;i   = S/R = 2000000/150000 = 13.(3) Надо решить относительно i уравнение (5.25). Оно имеет вид: ((1+i)^10-1)/i = 13.(3) Это уравнение 10-й степени. Ближайшие значения коэффици ента наращения при n = 10 в Таблице 2 дают большой разброс i = 5% и i = 10%. Пользуясь приближенными методами вычислений, нaходим i = 0.061, т. .е. i= 6.1%.

	Пример 11. К моменту выхода на пенсию г-н Иванов на-копил 1500000 руб., которые желает положить в банк, чтобы в течение 20 лет получать по 120000 руб. в год, исчерпав свой вклад к концу этого срока. Под какую ставку сложных про-центов ему надо вложить свои деньги? Решение. Величина вкладываемой суммы является совре-менной ценностью годовой ренты, состоящей из 20 членов по 120 000 руб. каждый. Из формулы (5.2) находим коэффициент приведения a n:i = A/R    a 20;i=1500000/120000 = 12.5 Надо решить относительно i уравнение a 20;i= 12.5 С помощью Таблицы 3, получаем i = 0.050, т. е. i= 5%.

Упражнения к разделу 5

1. Какую сумму надо положить в банк, выплачивающий 5 % годовых, чтобы иметь возможность снимать в конце каждого года 50 000 руб, исчерпав весь вклад к концу десятого года?

2. Решите предыдущее упражнение, если банк выплачивает непрерывные проценты по ставке j 12  = 5%?

3. Решите упражнение 1, если банк выплачивает непрерывные проценты по ставке δ= 5%?

4. Какую сумму надо положить в банк, чтобы в течение следующих 10 лет получать ежегодно по 50 000 руб., снимая эту сумму равными частями каждые 6 месяцев, если банк начисляет на вложенные в него деньги 5% годовых?

5. Решите предыдущее упражнение, если банк выплачивает проценты по ставке j 3  = 5%?

6. Решите упражнение 4, если банк выплачивает непрерывные проценты  с силой роста δ= 5%?

7. Какую сумму надо положить в банк, чтобы в течение следующих 26 лет иметь возможность снимать со счета каждые 2 года по100 тыс. руб., исчерпав весь запас к концу этого срока, если банк начисляет на эти деньги, находящиеся на счете, 10% годовых?

8. Решите предыдущее упражнение, если банк выплачивает проценты по ставке j 2  = 10 %?

9. Решите упражнение 7, если банк выплачивает непрерывные проценты  с силой роста δ= 10%?

10. Фермер приобрел трактор в кредит за 12 000 000 руб. За кредит он должен платить 5% годовых и выплатить весь долг за 4 года. Найти размер ежегодной срочной уплаты и составить план погашения долга

11. Составить план погашения долга, описанного в предыдущем упражнении, если срочная годовая уплата установлена в размере 3 500 000 руб.

12. Г-н Петров собирается положить в банк на счет своего сына 180 000 руб., что бы тот в течении 5 лет учебы в университете мог снимать в конце каждого года со счета 40 тыс. руб., исчерпав весь вклад к концу