2. Дифференцируемость функций. Теорема о непрерывности дифференцируемой функции.

Если функция в точке x имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая во всех точках промежутка Х, называется дифференцируемой на этом промежутке.

Теорема о непрерывности дифференцируемой функции: Если функция у=f(x) дифференцируема в точке x₀ , то она в этой точке непрерывна.

Доказательство:

По свойству предела y/x = f (х₀) + (x),

y = f (х₀) x + (x) x

При x0 y0 и, следовательно, по определению функция у = f(x) в точке является непрерывной.

Обратная теорема неверна, т.е. если функция непрерывна в данной точке, то она не обязательно дифференцируема в этой точке. Так, например, функция у = |x| непрерывна в точке x = 0, но не дифференцируема в этой точке.

Таким образом, непрерывность функции — необходимое, но недостаточное условие дифференцируемости функции. Графики функций, не имеющих предел в какой-либо точке, имеют в этой точке излом. У них нет определенной касательной.

3. Правила дифференцирований. Производная суммы, произведения и частного.

1) Производная постоянной равна нулю, т.е. c = 0.

Правило очевидно, так как любое приращение постоянной функции у = с равно нулю.

2) Производная аргумента равна 1, т.е. x = 1.

В следующих правилах будем полагать, что и=и(x) и v=v(x) – дифференцируемые функции.

3) Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций, т.е. (u + v) = u + v.

4) Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, т.е. (uv)' = uv + u v.

Следствие 1: Постоянный множитель можно выносить за знак производной, т.е. (cv)' = cu

Следствие 2: Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные, например (uvw)' = uvw + uvw + uvw'

5) Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле (uv)' = (uv - u v)/v² (при условии, что v  0).

4. Производные обратной, сложной, параметрически заданной функций. Производная функции, заданной неявно.

1) Производная сложной функции:

Пусть переменная у есть функция от переменной и (y=f(u)), а переменная и в свою очередь есть функция от независимой пере­менной х_, т.е. задана сложная функция у =f((g(x)).

Теорема: Если y=f(u) и u=g(x) – дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции по промежуточному аргументу и умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной х, т.е. y = f (u)u

2) Производная обратной функции:

Пусть у=f(x) – дифференцируемая и строго монотонная функция на некотором промежутке X. Если переменную у рассматривать как аргумент, а переменную x как функцию, то новая функция х = (y) является обратной к данной и, как можно показать, непрерывной на соответствующем промежутке Y.

Теорема: Для дифференцируемой функции с производной, не равной нулю, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции, т.е. x_y = 1/y_x

3) Производная параметрически заданной функции:

Пусть даны две функции x=(t), y=(t) одной независимой переменной t, определенные и непрерывные в одном и том же промежутке. Если x=(t) строго монотонна, то обратная к ней функция t=(x) однозначна, также непрерывна и строго монотонна. Поэтому y можно рассматривать как функцию, зависящую от переменной x посредством переменной t, называемой параметром: y = ((x))

Отметим, что функция ((x)) непрерывна в силу теоремы о непрерывности сложной функции.

Предположим теперь, что функции x = (t) и y = (t) имеют производные, причем (t)0 на некотором промежутке. Тогда производная сложной функции равна

y (x) =  (t) t(x) =  (t)/x(t)

y (x) = y(t)/x(t)

4) Производная функции, заданной неявно:

Функция y=f(x) задана неявно, если она задана уравнением F(x,y)=0, не разрешенным относительно у.

Для нахождения производной этой функции необходимо продифференцировать это равенство, помня, что у зависит от х, и выразить y  из полученного уравнения.