14. Выпуклость функции. Достаточное условие выпуклости.

Пусть функция y=f (x) дифференцируема в интервале (a,b). Тогда существует касательная к графику функции y=f (x) в любой точке этого графика. Будем говорить, что график функции y=f (x) является на интервале (a, b) выпуклым вверх, если он расположен не выше любой касательной к графику функции. Функция y=f (x) при этом называется выпуклой вверх на интервале (a, b).

Аналогично, график функции y=f (x) является на интервале (a, b) выпуклым вниз, если он расположен не ниже любой касательной к графику функции. Функция y=f (x) при этом называется выпуклой вниз на интервале (a, b).

Достаточное условие выпуклости:

Пусть f (x) определена на [a, b] и дважды дифференцируема на (a, b). Если f ´´(x) > 0 при всех x(a, b), то график функции является выпуклым вниз, иначе - выпуклым вверх.

Доказательство:

Обозначим через с произвольную точку интервала (a, b). Требуется доказать, что график функции y=f (x) (в дальнейшем y_кp=f (x)) лежит не ниже (не выше) касательной проходящей через точку (с, f (с)).

Запишем уравнение этой касательной:

y_kac = f (x₀) + f ´(x₀) (x - x₀).

y_kp - y_kac = f (x) – f (x₀) - f ´(x₀) (x - x₀) = f ´(c) (x - x₀) – f ´(x₀) ( x - x₀ ) = ( x - x₀ ) (f ´(c) - f ´(x₀)), где точка с принадлежит интервалу (х, х₀).

Но (x - x₀)(f ´(c) - f ´(x₀)) = f ´´(d)(c - x₀)(x - x₀), где d принадлежит (с, х₀) и (c - x₀)(x - x₀) >0.

По условию теоремы если f ´´(x) < 0, то y_kp < y_kac. Это значит, что график функции является выпуклым вниз. Если же f ´´( x) > 0, то y_kp > y_kac. Значит, график функции является выпуклым вверх.

Необходимое условие выпуклости: Если функция выпукла на (a, b), то можно утверждать лишь то, что f ´´(x) > 0 (или f ´´(x) < 0).

Например, y=x⁴ выпукла вниз на всей числовой прямой, но f ´´(x) не всюду положительна (в точке х=0 f ´´(x) = 0).

15. Точки перегиба. Необходимое условие точки перегиба. Достаточное условие точки перегиба.

Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция выпукла вниз и вверх. Касательная к точке перегиба графика функции параллельна оси Ох.

Из вышесказанного следует, что точки перегиба – это точки экстремума первой производной. Отсюда вытекают следующие утверждения.

Необходимое условие точки перегиба: Вторая производная f "(x) дважды дифференцируемой функции в точке перегиба x₀ равна нулю, т.e. f "(x₀) = 0.

Достаточное условие точки перегиба: Если вторая производная f "(x) дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точку x₀ меняет свой знак, то х₀ есть точка перегиба ее графика.

Доказательство:

Пусть существует число  > 0 такое, что для всех х  (x₀  , x₀) выполняется равенство f ´´(x) > 0, т.е. график является выпуклым вниз, а для всех х  (x₀, x₀ + ) - f ´´(x) < 0, т.е. график является выпуклым вверх.

Следует отметить, что если критическая точка дифференцируемой функции не является точкой экстремума, то она есть точка перегиба.

16. Асимптоты графика функции.

Прямая называется асимптотой графика функции у = f(x), если расстояние от точки M (x, f(x)) до этой прямой стремится к нулю при движении точки М вдоль какой-нибудь ветви прямой в бесконечность.

Виды асимптот:

1) вертикальная:

Прямая х=а называется вертикальной асимптотой графика функции, если lim_x→a±0f(x)=∞.

Очевидно, что прямая х=a не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке х₀. Следовательно, вертикальные асимптоты х=х₀ следует искать в точках разрыва функции у=f(x) или на концах её области определения (c, d), если c и d – конечные числа.

2) горизонтальная:

Прямая y=b называется горизонтальной асимптотой графика функции, если lim_x→±∞f(x)=b.

3) наклонная:

Прямая y=kx+b называется наклонной асимптотой графика функции, если

k= lim_x→±∞f(x)/x;

b= lim_x→±∞(f(x)-kx).