Домашнее задание

1. Вычислить скалярное произведение двух векторов , зная их разложение по трем единичным взаимно перпендикулярным векторам

; .

2. Найти длину вектора , зная, что – взаимно перпендику-

лярные орты.

3. Векторы попарно образуют друг с другом углы, каждый из которых равен . Зная, что , определить модуль вектора .

4. Доказать, что вектор перпендикулярен к вектору .

5. Даны векторы , совпадающие со сторонами треугольника АВС. Найти разложение вектора, приложенного к вершине В этого треугольника и совпадающего с его высотой BD по базису .

6. Вычислить угол между векторами , где - единичные взаимно перпендикулярные векторы.

7. Даны силы , приложенные к одной точке. Вычислить, какую работу производит равнодействующая этих сил, когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения в положение .

8. Даны вершины треугольника . Определить его внутренний угол при вершине В.

9. Вычислив внутренние углы треугольника с вершинами , , убедиться, что этот треугольник равнобедренный.

10. Найти вектор , зная, что он перпендикулярен векторам и .

11. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию , где .

12. Вычислить проекцию вектора на ось вектора .

13. Даны векторы . Вычислить .

14. Даны точки . Вычислить проекцию вектора на ось вектора .

Ответы к задачам

1) -7, 13. 2) 15, . 4) . 6) . 7) 2. 8) -1/3.

9) . 10) . 11) .

12) . 13) .

Ответы к домашнему заданию

1) 9. 2) 5. 3) 10. 5) . 6) . 7) 13. 8) .

10) . 12) 6. 13) 5. 14) 3.

Занятие 3

Векторое произведения векторов. Смешанное произведение векторов

Определение1. Тройка некомпланарных векторов называется правой (левой) если, находясь внутри телесного угла, образованного приведенными к общему началу векторами и от него к , човершающимся против часовой стрелки (по часовой стрелке)

Тройка правая Тройка левая

Определение 2. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , длина и направление которого определяются условиями:

1. , где - угол между .

2. .

3. - правая тройка векторов.

Свойства векторного произведения

1. (свойство антиперестановочности сомножителей);

2. (распределительное относительно суммы векторов);

3. (сочетательное относиельно числового множителя);

4. (равенство нулю векторного произведения означает коллинеарность векторов);

5. , т. е. момент сил равен векторному произведению силы на плечо.

Если вектор , то .

Определение 3. Смешанным произведением трех векторов называется число, определяемое следующим образом: . Если векторы заданы своими координатами: , то

~ .

Свойства смешанного произведения

1. Необходимым и достаточным условием компланарности векторов является равенство = 0.

2. Объем параллелепипеда, построенного на векторах

: