- •Линейные волны
- •Волновое уравнение. Бегущие волны
- •Преобразование Фурье.
- •Монохроматическая волна.
- •Характеристики линейных волн.
- •Фазовая скорость линейных волн
- •Дисперсия среды. Групповая скорость линейных волн
- •Явление опрокидывания (укручения) нелинейных волн
- •Преобразование Коула – Хопфа. Ударные волны
- •Асимптотические решения уравнения Бюргерса. Ширина фронта ударной волны
- •Оценки ширины фронта ударной волны. Число Рейнольдса
- •Спектр ударной волны.
- •Солитоны
- •Стационарные волны
- •Солитонные решения волнового уравнения (общие свойства)
- •Солитонное решение уравнения Кортевега - де -Вриза
- •Решение уравнения КдВ (общий вид)
- •Законы сохранения
- •Нелинейные уравнения, обладающие солитонными решениями
- •Нелинейные уравнения, не имеющие решений в виде солитонов.
- •Динамический хаос
- •Нелинейный маятник
- •Характеристики нелинейного маятника.
- •Особенности движения вблизи сепаратрисы
- •Переменные: «Действие» и «угол»
- •Уравнение нелинейного маятника при наличии внешней периодической силы.
- •Перекрытие резонансов. Критерий стохастичности
- •Параметрический резонанс
-
Фазовая скорость линейных волн
Фазовая скорость определяется как скорость движения постоянной фазы.
Т.е. фиксируем:
(Если привязываемся к максимуму волны, то смотрим с какой скоростью движется max)
Фаза будет постоянной для наблюдателя, который двигается со скоростью , которая обеспечивает .
Пример: - Фазовая скорость э/м волны
Фазовая скорость имеет направление распространения волны.
Если среда с дисперсией, то фазовая скорость - функция волнового вектора
Фазовая скорость не переносит энергию, поэтому она может превышать , такие волны называют быстрыми волнами.
-
Дисперсия среды. Групповая скорость линейных волн
Обычно в реальных условиях происходит, что фазовая скорость волны зависит от волнового вектора. кроме того, даже самый монохроматический волновой источник дает нам конечный во времени импульс
Поскольку , то это обозначает, что каждая волна, которая заполняет этот импульс, будет двигаться со своей скоростью, это приведет к изменению формы импульса, т.е. фазы волн, которые заполняют эти импульсы, будут меняться, и форма импульса может измениться. Отсюда следует, что, если среда диспергирующая, то фазовая скорость волны может сильно отличаться от скорости переноса энергии импульса. Для диспергирующей среды можем считать, что частота .
(Обычно за обозначают половину или 1/е)
порядка 1/2
Пусть спектральная функция имеет достаточно острый вид.
Разложим функцию частоты вблизи центральной волны в ряд Тейлора:
(1)
Решение волнового уравнения:
(2)
(1)->(2)
Заменим
Огибающая волна несет энергию. Несущая часть распространяется с фазовой скоростью
Максимум огибающей части: из уравнения
Причем:
-
Связь фазовой и групповой скорости линейных волн
Групповая
Фазовая
-
Стоячие волны
Пусть
Отраженная:
Складываем:
Получаем:
cos - уравнение стоячей волны
В отличии от бегущей волны, в каждой точке которой может быть любое значение, в точках - узлах всегда будет ноль
Фазовой скорости нет.
Групповая скорость = 0,т.е. нет переноса вещества.
Энергия только может запасаться в виде амплитуды стоячей волны.
-
Нелинейные волновые уравнения.
-
Определение. Примеры некоторых нелинейных уравнений
-
Пусть задано исходное волновое уравнение
Рассмотрим основные типы нелинейных волновых уравнений.
Тогда стационарной волной называют такое его решение, которое зависит от координаты и времени через переменную .
Перепишем уравнение в операторном виде:
Таким образом, для данного уравнения существует два общих решения.Рассмотрим один из сомножителей:
Общее решение этого уравнения: =.
(Уравнение описывает паводковые волны, волны химических реакций, в ледниках и т.д.)
Перейдем к нелинейным задачам. пусть скорость зависит от u, тогда
, где v-скорость распространения волны есть функция локального возмущения.
Несмотря на кажущуюся простоту общий вид решения такого уравнения не существует.
Уравнение относится к классу квазилинейных уравнений. (Оно квазилинейно, т.к. нелинейно относительно u и линейно относительно производной).
Одним из простейших модельных уравнений, описывающее нелинейные волны в средах с дисперсией является уравнение Кортевега-де-Вриза (КВД).
Оно описывает нелинейные колебания в средах с дисперсией.Изначально это уравнение использовали для изучения волн на мелкой воде (глубина которой <длины волны)
Классический вид:
Существует его модификация:
Слагаемое отражает явление нелинейности, а --связано с дисперсией среды.
В физике эти уравнения описывают волны конечной амплитуды на больших интервалах времени.
Уравнение КДВ описывает нелинейные уравнения движения жидкости по трубам, распространение электромагнитного импульса по нервным волокнам человека, гидродинамические волны, магнитно-звуковые волны в плазме.
Другой тип уравнений, описывающий нелинейные волны—уравнение Бюргерса.
- коэффициент диффузии. Правая часть определяет затухание волн в среде.
Это уравнение применяется для описания турбулентного движения жидкости в трубе, описывает нелинейность электромагнитных волн (лазерных лучей в атмосфере, а именно самофокусировку).