4. Асимптотические решения уравнения Бюргерса. Ширина фронта ударной волны

Уравнением Бюргерса называют уравнение в частных производных, используемое в гидродинамике:

Запишем уравнение Бюргерса в виде :.

Учтем, что при

Проинтегрируем данное уравнение в пределах от .

- инвариант.

Вывод: это значит, что площадь занимаемая импульсом при его распространении сохраняется, как бы не искажалась волна.

Из структуры уравнения Бюргерса следует, что при больших временах наступает стационарный режим, кроме того, следует также что при малых выход на стационарный режим происходит через большой промежуток времени. Поэтому имеется эквивалентность рассмотрения решения при больших временах и малых .

Поэтому будем считать, что мало и будем искать асимптотическое решение при больших временах.

Заметим, что при выражение

(1)

можно вычислить аналитически методом перевала (или наискорейшего спуска).

Для этого найдем стационарную точку y0.

Данная стационарная точка удовлетворяет уравнению:

(2)

тогда

Подставляя в (1) проведя сокращения получим асимптотическое решение:

Очевидно при больших t, которые стремятся к бесконечности, отличные от нуля значения волны получаются только при достаточно больших х (т.е. на больших растояниях), поэтому практически во всей области, где профиль U(x,t) принимает ненулевые значения, имеет место асимптотическая форма решения, где х и t связаны соотношением (2),

т.е. , (3)

значит, получили в асимптотике обычную стационарную волну с линейным профилем.

Поскольку волна нелинейная, то она стремится к укручению фронта волны по мере распространения. При этом учитываемая вязкость (затухание волны) среды предотвращает разрушение волны.

С другой стороны, (3) противоречит вышесказанному. К тому же (3) при больших х может противоречить инварианту (1).

Определим границу решения x=x0, такую что при всех x>x0 волна отсутствует U(x)0,

чтобы найти x₀ воспользуемся инвариантом (1), при из инварианты следует, что . При этом мы учитываем, что на нижнем пределе , при. =>.

Значение инварианты в этой формуле должно определятся из начальных условий

->0 при

Таким образом, и (‘) показывают, что асимптотический профиль определяется только значением инварианты U при J > 0 не зависит от начального профиля волны U₀(x).

Полученное решение уранения Бюргерса, в которых не происходит разрушения волны, является примером образования ударной волны. В ударной волне могут существовать скачки плотности среды и скорости волны нормальной к фронту волны, что следует из полученного решения.

5. Оценки ширины фронта ударной волны. Число Рейнольдса

Процесс остановки опрокидывания волны и образования ударной волны определяется конкуренцией между нелинейностью и затуханием волны. Используя это, проведем оценку ширины фронта реальной ударной волны.

Для этого запишем уравнение Бюргерса:,

где - нелинейное слагаемое, - слагаемое связанное с затуханием.

Взаимоотношения нелинейности и затухания выражается с помощью числа Рейнольдса.

,

для оценки этого числа заметим, что вблизи фронта волны масштаб изменения волны порядка (т.е. длины волны). Тогда

=> (1),

Если учесть

- число Рейнольдса

При , можно считать, что на фронте волны 2 составляющие уравновешиваются

С помощью числа Рейнольдса оценим ширину фронта волны.

Заметим, что Δx – область, где происходит сглаживание угла профиля. На этой длине Δx, конкуренция нелинейности и затухание, учитывая, что ,

Таким образом, чем больше число Рейнольдса (чем выше уровень нелинейности), тем уже фронт ударной волны