2.2 Синусоидальные решетчатые функции

Рассмотрим свойства синусоидальных решетчатых функций x_s[n]=Asin(nT+), образованных из производящих функций вида

x(t)=Asin(t+).

Если период дискретности T и T₁=2/ - соизмеримые числа, то последовательность x_s[n] - периодическая, в противном случае - непериодическая.

Амплитуда A - не обязательно максимальное значение последовательности, а лишь верхнее значение, которое может быть достигнуто. Например, если =_T=2/T (период синусоидального сигнала равен периоду дискретности), то nT=2n и

x_s[n]=Asin=const.

В частности, при =0 x_s[n]0. Решетчатая функция не изменится, если заменить f=/2 на f+kf_T, где k - целое, f_T=T^-1 - циклическая частота дискретности. Действительно,

.

Отсюда следует важный вывод:

В ДВ-системах невозможно различить две частоты, разность между которыми f=mf_T=m2/T, m - целое.

Отсюда следует, что меняя частоту входного воздействия от нуля до _T, можно фактически охватить весь диапазон частот входных сигналов ДВ-системы.

Более того, оказывается достаточно проводить исследования в диапазоне частот от нуля до _T/2 (0    _T/2). Для того, чтобы показать это, определим две частоты входного сигнала симметрично относительно частоты _T :

Покажем, что

Действительно,

Равенство очевидно.

Это означает, что входные сигналы одинаковой амплитуды, имеющие частоты симметричные относительно частоты _T/2 после дискретизации с периодом T дают решетчатые функции, которые отличаются только знаком. Поэтому достаточно изучать свойства ДВ-систем на интервале частот от нуля до _T/2.

Полученный результат аналогичен тому, что для исследования непрерывной системы достаточно изменять частоту  в интервале от нуля до +, вместо интервала от - до +. При этом  для непрерывных систем соответствует /T для дискретных систем.

Синусоидальная последовательность может быть записана в символической форме

x_s[n]=ae^jnT,

где a=aexp(j) - комплексная амплитуда. Как и в непрерывном случае x_s[n]=Im(x_s[n]).

Вводя обозначение z=exp(jT), получим

x_s[n]=azⁿ.

Дополнение.

Представив сигнал в экспоненциальной форме, получим сразу

Это и показывает, что

• Входные сигналы одинаковой амплитуды, имеющие частоты симметричные относительно частоты _T/2 после дискретизации с периодом T дают решетчатые функции, которые отличаются только знаком. Поэтому достаточно изучать свойства ДВ-систем на интервале частот от нуля до _T/2.

- В ДВ-системах невозможно различить две частоты, разность между которыми = k2/T, k - целое.

2.3 Прямые и обратные разности

Для решетчатых функций определены понятия аналогичные производной и интегралу для непрерывных функций. Аналог первой производной непрерывной функции для решетчатой функции является либо первая прямая разность [5].

f[n]=f[n+1]-f[n]

либо первая обратная разность

f[n]=f[n]-f[n-1].

Выражение для обратной первой разности легко получить заменой в прямой первой разность n на n-1.

Для определения прямых разностей требуется знание текущего значения решетчатой функции (f[n]) и ее будущих значений. Обратные разности, в отличие от прямых, требуют для определения текущего значения решетчатой функции и ее прошлых значений (f[n-m], m>0). Поскольку в большинстве практических задач будущие значения неизвестны, в дальнейшем, будем рассматривать обратные разности.

Вторые разности (аналог второй производной непрерывной функции)

²f[n]= f[n]- f[n-1].

Развернутое выражение для обратной второй разности:

²f[n]= f[n]- f[n-1]={f[n]-f[n-1]}-{f[n-1]-f[n-2])=f[n]-2f[n-1]+f[n-2].

В общем виде для прямые и обратные разности k-го порядка вычисляются по формулам [5]

C_k^ - биномиальные коэффициенты.

Если f[n] 0 при n<0, то в точке n=0 обратная разность любого порядка (k>0)

.

Неполная сумма и полная сумма - аналоги интеграла непрерывной функции. Разница между ними в том, что в полную сумму входит и f[n].

_^(s)- передаточная функция замкнутой чисто импульсной системы по ошибке, ^(s) - передаточная функция замкнутой чисто импульсной системы по сигналу. Соответствующие частотные передаточные функции получается заменой в частотных передаточных функциях s на j.

Существует большое разнообразие структурных схем ДВ-систем, отличающихся местом включения импульсных элементов и передаточными функциями.

Литература

1.Попов Е.П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления. M., "Наука", 1989г.

2.Бессекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. M., "Наука", 1972г.

3.Иванов В.А. и др. Математические основы теории автоматического регулирования. М., "Высшая школа", 1971г.

4. Математические модели, динамические характеристики и анализ сисем автоматического управления. Изд. МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004.

5. Коновалов Г.Ф. Радиоавтоматика. М., "Высшая школа",1990г.

6. Микропроцессорные автоматические системы регулирования. Под ред. Солодовникова В.В. М., Высшая школа, 1991.

7. Микропроцессорное управление технологическим оборудованием микроэлектроники. Под ред.Сазонова А.А. М., Радио и связь, 1988.

8. Бессекерский В.А., Изранский В.В. Системы автоматического управления с микроЭВМ. М., Наука, 1987.

9. Прасолов Б.М. Дискретные системы автоматического управления. Омск, изд. ОмГТУ, 1998.