10. Квадратные неравенства (решение: графически и методом промежутков).

При решении задач с параметрами иногда удобно строить графики в обычной плоскости (х,у), а иногда лучше рассмотреть графики в плоскости (х,а), где х – независимая переменная, а «а» – параметр. Это прежде всего возможно в задаче, где приходится строить знакомые элементарные графики: прямые, параболы, окружности и т.д. Кроме того эскизы графиков иногда помогают наглядно увидеть и «ход» решения.

При решении уравнений f (х,а) = 0 и неравенств f (х,а) › 0 надо помнить, что в первую очередь рассматривают решение при  тех значениях параметра, при которых обращается в ноль коэффициент при старшей степени х квадратного трехчлена  f (х,а), понижая тем самым степень. Квадратное уравнение А(а) х²  + В(а) х + С(а) = 0  при А(а) = 0 превращается в линейное, если при этом В(а) ≠ 0, а методы решения квадратных и линейных уравнений различны.

 

Вспомним основные формулы для работы с квадратными уравнениями.

Уравнение вида  ах² + вх + с = 0, где х R – неизвестные,  а, в, с – выражения, зависящие только от параметров, причем а ≠ 0, называется квадратным уравнением, а  D = b² – 4ас называется дискриминантом квадратного трехчлена.

          Если D< 0, то уравнение не имеет корней.

          Если D >  0, то уравнение  имеет два различных корня

х₁ = -b-√D 2а, х₂ = -b+√D 2а, и тогда  ах² + вх + с = а (х – х₁) (х – х₂).

Эти корни через коэффициенты уравнения связаны формулами Виета

х1+х2= -b/а х1 х2=с/а

              Если  D = 0, то уравнение имеет два совпадающих корня х₁ = х₂ = b2а, и тогда  ах² + вх + с = а (х – х₁)² . В этом случае говорят, что уравнение имеет одно решение.

           Когда b=четное число, т.е. b = 2к, корни квадратного уравнения определяются по формуле  х_1,2  =  -к±к2-aca,

            Для решения приведенного квадратного уравнения  х² + pх + q = 0

Используется формула   х_1,2  = - p2 ± p24- q, а также формулы Виета

  p= -(х1+х2)  q = х1 х2

            Допустимыми  будем считать только те значения параметров, при которых а, в, с – действительны.

Условия параметрических квадратных уравнений разнообразны. Например, нужно найти значение параметра при котором корни: положительны, отрицательны, имеют разные знаки, больше или меньше какого-либо числа и т.д. Для их решения следует использовать свойства корней квадратного уравнения   ах² + вх + с = 0.

Если   D > 0, а > 0, то уравнение имеет два действительных различных корня, знаки которых при с > 0 одинаковы и противоположны знаку коэффициента в, а при с < 0 – разные, причем по абсолютной величине больше тот из корней, знак которого противоположен знаку коэффициента в.

Если D = 0, а > 0, то уравнение имеет действительные и равные между собой корни, знак которого противоположен знаку коэффициента в.

Если D < 0,  а > 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Аналогично можно установить свойства корней квадратного уравнения и для а < 0.  Кроме того справедливы следующие утверждения:

1. Если в квадратном уравнении поменять местами коэффициенты а и с, то получим уравнение, корни которого обратны корням данного.

2. Если в квадратном уравнении поменять знак коэффициента в, то получим уравнение, корни которого противоположны корням данного.

3. Если в квадратном уравнении  коэффициенты а и с имеют разные знаки, то оно имеет действительные корни.

4. Если а > 0 и  D = 0, то левая часть квадратного уравнения – есть полный квадрат, и наоборот, если левая часть уравнения есть полный квадрат, то  а > 0 и  D = 0.

5. Если все коэффициенты уравнения рациональны и дискриминант выражает полный квадрат, то корни уравнения рациональны.

6. Если рассматривается расположение  корней относительно нуля, то применяем теорему Виета.