- •Уравнение поверхности в пространстве.
- •Классификация поверхностей.
- •Плоскость в пространстве.
- •Неполные уравнения плоскости.
- •Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.
- •(4) Уравнение плоскости, проходящей через 3 заданные точки.
- •Уравнение плоскости в отрезках на осях.
- •Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
- •Нормированное (нормальное) уравнение плоскости.
- •Пучки и связки плоскостей.
- •Прямая в пространстве.
- •Общие уравнения прямой в пространстве.
- •Канонические уравнения прямой.
- •Параметрические уравнения прямой.
- •Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки.
- •Условие принадлежности двух прямых к одной плоскости.
- •Расстояние от точки до прямой.
- •Расстояние между двумя прямыми в пространстве.
- •Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
- •1. Пересечение прямой и плоскости.
- •Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности.
- •Условие параллельности прямой и плоскости.
- •Условие перпендикулярности прямой и плоскости.
- •Условие принадлежности прямой l к плоскости α.
- •Связка прямых.
Неполные уравнения плоскости.
Общее уравнение прямой называется полным, если все его коэффициенты не равны 0. в противном случае уравнение называется неполным.
-
D=0 Ax+Ву+Сz=0 – плоскость, проходящая через начало координат.
Остальные случаи определяются положением нормального вектора n={А;В;С}.
-
А=0 Ву+Сz+D=0 – уравнение плоскости, параллельной оси Ох. (Т.к. нормальный вектор n={0;В;С} перпендикулярен оси Ох).
-
В=0 Ах+Сz+D=0 - уравнение плоскости, параллельной оси Оу. (Т.к. нормальный вектор n={А;0;С} перпендикулярен оси Оy).
-
С=0 Ах+Ву+D=0 - уравнение плоскости, параллельной оси Оz. (Т.к. нормальный вектор n={А;B;0} перпендикулярен оси Оz).
-
А=В=0 Сz+D=0 – z=-D/C – уравнение плоскости, параллельной плоскости Оху (т.к. эта плоскость параллельна осям Ох и Оу).
-
А=С=0 Ву+D=0 - у=-D/В- уравнение плоскости, параллельной плоскости Охz (т.к. эта плоскость параллельна осям Ох и Оz).
-
В=С=0 Ах+D=0 – x=-D/A- уравнение плоскости, параллельной плоскости Оуz (т.к. эта плоскость параллельна осям Оу и Оz).
-
A=D=0 By+Cz=0 - уравнение плоскости, проходящей через ось Ох.
-
B=D=0 Ax+Cz=0 - уравнение плоскости, проходящей через ось Оy.
-
A=B=D=0 Cz=0 (z=0) – координатная плоскость Оху. (т.к. эта плоскость параллельна Оху и проходит через начало координат).
-
А=С=D=0 By=0 (y=0) – координатная плоскость Охz. (т.к. эта плоскость параллельна Охz и проходит через начало координат).
-
B=C=D=0 Ax=0 (x=0) – координатная плоскость Оуz. (т.к. эта плоскость параллельна Оуz и проходит через начало координат).
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.
Выведем уравнение плоскости, проходящей через 3 различные точки М1(х1;у1;z1), М2(х2;у2;z2), М3(х3;у3;z3), не лежащие на одной прямой. Тогда векторы М1М2=(х2-х1;у2-у1;z2-z1) и М1М3=(х3-х1;у3-у1;z3-z1) не коллинеарны. Поэтому точка М(х,у,z) лежит в одной плоскости с точками М1, М2 и М3 тогда и только тогда, когда векторы М1М2, М1М3 и М1М=(х-х1;у-у1;z-z1) - компланарны, т.е. , когда их смешанное произведение равно 0
(М1М· М1М2· М1М3=0), т.е.
(4) Уравнение плоскости, проходящей через 3 заданные точки.
(Разложив определитель по 1-й строке и упростив получим общее уравнение плоскости: Ах+Ву+Сz+D=0).
Т.о. три точки однозначно определяют плоскость.
Уравнение плоскости в отрезках на осях.
Плоскость Π пересекает оси координат в точках М1(а;0;0), М2(0;b;0), M3(0;0;c).
М(х;у;z)- переменная точка плоскости.
Векторы
М1М=(х-а;у;z)
М1М2=(0-а;b;0) определяют данную плоскость
М1М3=(-a;0;c)
Т.е. М1М· М1М2· М1М3=0
Разложим по 1-й строке: (х-а)bc-y(-ac)+zab=xbc-abc+yac+zab=0
Разделим равенство на abc≠0. Получим:
(5) уравнение плоскости в отрезках на осях.
Уравнение (5) можно получить из общего уравнения плоскости, предполагая, что D≠0, разделим на D
Ax+By+Cz+D=0
Ax+By+Cz=-D
Обозначив –D/A=a, -D/B=b, -C/D=c – получим уравнение 4.
Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
Угол φ между двумя плоскостями α1 и α2 измеряется плоским углом между 2 лучами, перпендикулярными прямой, по которой эти плоскости пересекаются. Любые две пересекающиеся плоскости образуют два угла, в сумме равных . Достаточно определить один из этих углов.
Пусть плоскости заданы общими уравнениями:
1: A1x+B1y+C1z+D1=0
2: A2x+B2y+C2z+D2=0
Нормальные векторы этих плоскостей: n1={A1;B1;C1}, n2={A2;B2;C2}.
Тогда искомый угол φ можно определить как угол между нормальными векторами n1 и n2, следовательно:
сosφ=, т.е. сosφ= (6)
-
Если плоскости α1||α2, то и нормальные векторы n1||n2. Следовательно, условие параллельности плоскостей: (7)
При этом, если , то плоскости совпадают.
2) Если плоскости α1α2, то и нормальные векторы n1n2. Следовательно, условие перпендикулярности плоскостей: А1А2+В1В2+С1С2=0 (8).
Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(-1;3;1) параллельно плоскости 2х-3у+4z-5=0.
Т.к. α1||α2, то в качестве нормального вектора искомой плоскости возьмем вектор n1=(2;-3;4). Параметр D найдем, подставив в уравнение 2х-3у+4z +D=0 координаты точки М.