- •Уравнение поверхности в пространстве.
- •Классификация поверхностей.
- •Плоскость в пространстве.
- •Неполные уравнения плоскости.
- •Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.
- •(4) Уравнение плоскости, проходящей через 3 заданные точки.
- •Уравнение плоскости в отрезках на осях.
- •Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
- •Нормированное (нормальное) уравнение плоскости.
- •Пучки и связки плоскостей.
- •Прямая в пространстве.
- •Общие уравнения прямой в пространстве.
- •Канонические уравнения прямой.
- •Параметрические уравнения прямой.
- •Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки.
- •Условие принадлежности двух прямых к одной плоскости.
- •Расстояние от точки до прямой.
- •Расстояние между двумя прямыми в пространстве.
- •Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
- •1. Пересечение прямой и плоскости.
- •Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности.
- •Условие параллельности прямой и плоскости.
- •Условие перпендикулярности прямой и плоскости.
- •Условие принадлежности прямой l к плоскости α.
- •Связка прямых.
Условие принадлежности двух прямых к одной плоскости.
Прямые лежат в одной плоскости. если они 1) пересекаются;2) параллельны.
Для принадлежности прямых L1: и L2: одной плоскости чтобы векторы М1М2={x2-x1;y2-y1;z2-z1}, q1={l1;m1;n1} и q2={l2;m2;n2} были компланарны. Т.е., по условию компланарности трех векторов, смешанное произведение М1М2·s1·s2=Δ==0 (8)
Т.к. условие параллельности двух прямых имеет вид: , то для пересечения прямых L1 и L2 , чтобы они удовлетворяли условию (8) и чтобы нарушалась хотя бы одна из пропорций .
Пример. Исследовать взаимное расположение прямых:
L1: , L2:
Направляющий вектор прямой L1–q1=(1;3;-2). Прямая L2 задана как пересечение 2-х плоскостей α1: х-у-z+1=0; α2: x+y+2z-2=0. Т.к. прямая L2 лежит в обеих плоскостях, то она, а значит и ее направляющий вектор, перпендикулярна нормалям n1 и n2. Следовательно, направляющий вектор s2 является векторным произведением векторов n1 и n2, т.е. q2 =n1 х n2==-i-3j+2k.
Т.о. s1=- s2, значит прямые или параллельны, или совпадают.
Чтобы проверить совпадают ли прямые, подставим координаты точки М0(1;2;-1)L1 в общие уравнения L2: 1-2+2+1=0 – неверные равенства, т.е. точка М0 L2,
1+2+4-2=0
следовательно прямые параллельны.
Расстояние от точки до прямой.
Расстояние от точки М1(х1;у1;z1) до прямой L, заданной каноническим уравнением L: можно вычислить при помощи векторного произведения.
Из канонического уравнения прямой следует, что точка М0(х0;у0;z0)L, а направляющий вектор прямой q=(l;m;n)
Построим параллелограмм на векторах q и М0М1. Тогда расстояние от точки М1 до прямой L равно высоте h этого параллелограмма. Т.к. S=|qxМ0М1|=h|q|, то
h= (9)
Расстояние между двумя прямыми в пространстве.
L1: и L2:
1) L1L2.
d=
2) L1 и L2 – скрещивающиеся
d=
Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
Для расположения прямой и плоскости в пространстве возможны 3 случая:
-
прямая и плоскость пересекаются в одной точке;
-
прямая и плоскость параллельны;
-
прямая лежит в плоскости.
Пусть прямая задана своим каноническим уравнением, а плоскость – общим
L: ,
α: Ах+Ву+Сz+D=0
Уравнения прямой дают точку М0(х0;у0;z0)L и направляющий вектор q=(l;m;n), а уравнение плоскости – нормальный вектор n=(A;B;C).
1. Пересечение прямой и плоскости.
Если прямая и плоскость пересекаются, то направляющий вектор прямой q не параллелен плоскости α, а значит не ортогонален нормальному вектору плоскости n. Т.е. их скалярное произведение n·q≠0 или, через их координаты,
Am+Bn+Cp≠0 (10)
Определим координаты точки М - точки пересечения прямой L и плоскости α.
Перейдем от канонического уравнения прямой к параметрическому: , tR
Подставим эти соотношения в уравнение плоскости
А(x0+lt)+B(y0+mt)+C(z0+nt)+D=0
A,B,C,D,l,m,n,x0,y0,z0 – известны, найдем параметр t:
t(Al+Bm+Cn)= -D-Ax0-By0-Cz0
если Am+Bn+Cp≠0, то уравнение имеет единственное решение, определяющее координаты точки М:
tМ= - → (11)
Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности.
Угол φ между прямой L:
с направляющим вектором q={l;m;n} и плоскостью
: Ах+Ву+Сz+D=0 с нормальным вектором n=(A;B;C) находится в пределах от 0˚ ( в случае параллельности прямой и плоскости) до 90˚ (в случае перпендикулярности прямой и плоскости). (Угол между вектором q и его проекцией на плоскость α).
– угол между векторами q и n.
Т.к. угол между прямой L и плоскостью является дополнительным к углу , то sin φ=sin(-)=cos = - (рассматривается абсолютная величина т.к. угол φ острый sin φ=sin(-) или sin φ=sin(+) в зависимости от направления прямой L)
sin φ= (12)