Образец выполнения лабораторной работы №10

(Численное дифференцирование)

Постановка задачи. Функция задана в равноотстоящих узлах своими значениями в узлах . Найти приближенное значение первой и второй производных функции при заданном значении аргумента , где

	1	1,71	2,42	3,13	3,84	4,55	5,26
	0,778801	1,906915	3,19803	4,479744	5,645985	6,637627	7,42804

Так как функция дана в равноотстоящих узлах и находится в начале таблицы, то используем первую интерполирующую формулу Ньютона. Для этого найдем конечные разности .

0,778801	1,128114	0,163001	-0,1724	0,06633	-0,01938	0,004936
1,906915	1,291115	-0,0094	-0,10607	0,046946	-0,01445
3,19803	1,281714	-0,11547	-0,05913	0,032498
4,479744	1,166241	-0,1746	-0,02663
5,645985	0,991641	-0,20123
6,637627	0,790414
7,42804

Используя полученные конечные разности выпишем интерполирующий полином Ньютона . Полагая , , , вводя обозначение получим ,

	1,714043			0,005325
	0,377144			0,007478

Определим число верных знаков в широком смысле, тогда получим

, ,

тогда точные значения должны принадлежать отрезкам

, .

Действительно, так как точные и соответствующие погрешности принимают значения

	1,716019			0,001977
	0,375379			0,001764

при этом выполняются неравенства , .

Таким образом найденные значения производных отвечают точным значениям в пределах найденных погрешностей приближенных значений.

Замечание. Очевидно, что в случае когда значение находится ближе к концу таблицы значений функции необходимо применить вторую интерполирующую формулу Ньютона, в противном случае погрешность полученного приближенного значения производной будет большой