- •Введение
- •Глава I предмет и значение логики
- •§ 1. Формы познания Формы чувственного познания
- •Формы абстрактного мышления
- •Растения делятся или на однолетние или на многолетние.
- •Особенности абстрактного мышления
- •§ 2. Понятие логической формы и логического закона
- •Понятие логической формы
- •Логические законы
- •Истинность мысли и формальная правильность рассуждений
- •Все металлы - твердые тела.
- •Все небесные тела – планеты
- •Все тигры полосатые.
- •4. Все ушастые тюлени – ластоногие.
- •Теоретическое и практическое значение логики
- •§ 3. Логика и язык
- •Семантические категории
- •Задачи к теме “Предмет и значение логики”
- •Глава II понятие
- •§ 1. Понятие как форма мышления
- •Содержание и объем понятия
- •Закон обратного отношения между объемами и содержаниями понятий
- •§ 2. Отношения между понятиями
- •Типы совместимости: равнозначность (тождество), перекрещивание, подчинение (отношение рода и вида)
- •Типы несовместимости: соподчинение, противоположность, противоречие
- •§ 3. Определение понятий
- •Правила явного определения. Ошибки, возможные в определении
- •Неявные определения
- •Определение через аксиомы
- •Использование определений понятий в процессе обучения
- •Приемы, сходные с определением понятий
- •§ 4. Деление понятий. Классификация
- •Правила деления понятий
- •Виды деления: по видообразующему признаку и дихотомическое деление
- •Классификация
- •Использование естественных классификаций в школах и педагогических средних и высших учебных заведениях
- •§ 5. Ограничение и обобщение понятий
- •II. Определить отношения между следующими понятиями:
- •Глава III суждение
- •§ 1. Общая характеристика суждения
- •Суждение и предложение
- •§ 2. Простое суждение
- •Виды простых ассерторических суждений
- •1. Суждения свойства (атрибутивные).
- •2. Суждения с отношениями.
- •Категорические суждения и их виды (деление по количеству и качеству)
- •Объединенная классификация простых категорических суждений по количеству и качеству
- •Распределенность терминов в категорических суждениях
- •§ 3. Сложное суждение и его виды. Исчисление высказываний
- •Способы отрицания суждений
- •Отрицание сложных суждении
- •Исчисление высказываний
- •§ 4. Выражение логических связок (логических постоянных) в естественном языке
- •§5.Отношения между суждениями по значениям истинности
- •Противоположность (контрарность)
- •§ Б. Деление суждений по модальности
- •Задачи к теме “Суждение”
- •VII. Являются ли суждениями следующие предложения?
- •Глава IV законы (принципы) правильного мышления
- •§ 1. Понятие логического закона
- •§ 2. Законы логики и их роль в познании Закон тождества
- •Закон непротиворечия
- •Закон исключенного третьего
- •Специфика действия закона исключенного третьего при наличии “неопределенности” в познании
- •Закон достаточного основания
- •§ 3. Использование формально-логических законов в процессе обучения
- •Задачи к теме “Законы (принципы) правильного мышления”
- •Глава V умозаключение
- •§ 1. Общее понятие об умозаключении
- •Понятие логического следования
- •§ 2. Дедуктивные умозаключения
- •Понятие правила вывода
- •§ 3. Выводы из категорических суждений посредством их преобразования
- •S есть р
- •§ 4. Простой категорический силлогизм1
- •Фигуры и модусы категорического силлогизма
- •Особые правила фигур
- •Модусы категорического силлогизма.
- •Правила категорического силлогизма
- •/. Правила терминов
- •//. Правила посылок
- •§ 5. Сокращенный категорический силлогизм (энтимема)
- •§ 6. Сложные и сложносокращенные силлогизмы: (полисиллогизмы, сориты, эпихейрема)
- •Все с суть d. Сорит (с общими посылками)
- •Выводы, основанные на логических связях между суждениями (выводы логики высказываний)
- •§ 7. Условные умозаключения
- •I. Утверждающий модус (modus ponens).
- •II. Отрицающий модус (modus tollens).
- •Первый вероятностный модус
- •Структура его: Cхема:
- •Второй вероятностный модус
- •§ 8. Разделительные умозаключения
- •§ 9. Условно-разделительные (лемматические) умозаключения
- •Дилемма1
- •Cхема Формула:
- •Трилемма
- •§ 10. Сокращенные условные, разделительные и условно-разделительные умозаключения
- •1. В умозаключении пропущено заключение
- •2. В умозаключении пропущена одна из посылок
- •1. Простая контрапозиция.
- •2. Сложная контрапозиция.
- •§ 11. Непрямые (косвенные) выводы
- •1. Рассуждение по правилу введения импликации
- •2. Правило сведения “к абсурду”
- •3. Правило непрямого вывода - рассуждение “от противного” (противоречащего)
- •§ 12. Индуктивные умозаключения и их виды Логическая природа индукции
- •Математическая индукция
- •Виды неполной индукции
- •2. Индукция через анализ и отбор фактов
- •Понятие вероятности
- •3. Научная индукция
- •§ 13. Индуктивные методы установления причинных связей Понятие причины и следствия
- •Методы установления причинной связи
- •Метод сходства
- •Если изменение одного обстоятельства всегда вызывает изменение другого, то первое обстоятельство есть причина второго. Метод остатков
- •Если известно, что причиной исследуемого явления не служат необходимые для него обстоятельства, кроме одного, то это одно обстоятельство и есть, вероятно, причина данного явления.
- •§ 14. Дедукция и индукция в учебном процессе
- •Задачи к теме “Умозаключение”
- •3. Во всех городах за полярным кругом бывают белые ночи.
- •Все летучие мыши - представители отряда рукокрылых.
- •Глава VI логические основы теории аргументации
- •§ 1. Понятие доказательства
- •Структура доказательства: тезис, аргументы, демонстрация
- •Виды аргументов
- •§ 2. Прямое и непрямое (косвенное) доказательства
- •§ 3. Понятие опровержения
- •1. Опровержение тезиса (прямое и косвенное)
- •II. Критика аргументов
- •III. Выявление несостоятельности демонстрации
- •§ 4. Правила доказательного рассуждения. Логические ошибки, встречающиеся в доказательствах и опровержениях
- •Правила по отношению к тезису
- •Ошибки относительно доказываемого тезиса
- •Правила по отношению к аргументам
- •Правило по отношению формы обоснования тезиса (демонстрации)
- •Ошибки в форме доказательства
- •3. Нарушение правил умозаключений (дедуктивных, индуктивных, по аналогии);
- •§ 5. Понятие о софизмах и логических парадоксах
- •Понятие о логических парадоксах
- •Парадоксы теории множеств
- •§ 6. Искусство ведения дискуссии
- •Задачи к теме
- •1Ушинский к. Д. Соб. Соч. М.-л., 1948. Т. 1. С. 397.
- •1Цит. По: Русская литература. Л., 1980. С. 55.
- •2Huкoлa Себастьен де Шамфор. Из максим и мыслей, афоризмов и анекдотов // Пер. С франц. Орел. 1991. С. 45,47-49.
- •3Смаллиан р. Как же называется эта книга? // Пер. С англ. М., 1981. С. 74,123.
- •Глава VII аналогия и гипотеза. Их роль в учебном процессе
- •§ 1. Умозаключение по аналогии и его виды
- •Строгая аналогия
- •Нестрогая аналогия
- •Ложная аналогия
- •§ 2. Гипотеза и ее виды
- •Виды гипотез
- •§ 3. Построение гипотез
- •Способы подтверждения гипотез бывают такие:
- •Примеры гипотез, применяющихся на уроках в школе
- •Глава VIII роль логики в процессе обучения
- •§ 1. Логическая структура вопроса
- •Виды вопросов
- •Предпосылки вопросов
- •Правила постановки простых и сложных вопросов
- •Логическая структура и виды ответов
- •§ 2. К. Д. Ушинский и в. А. Сухомлинский о формировании логического мышления в процессе обучения в начальной школе
- •§ 3. Развитие логического мышления младших школьников
- •Обобщение:
- •Ограничение:
- •§ 4. Развитие логического мышления учащихся в процессе обучения в средних и старших классах Развитие логического мышления учащихся на уроках литературы (из опыта о. Ю. Богдановой)
- •Развитие логического мышления на уроках математики
- •Глава IX методика преподавания логики в педагогических высших и средних учебных заведениях и школах
- •§ 1. Формирование логической культуры как условие гуманитаризации педагогического образования
- •Формы активизации мыслительной деятельности , студентов в учебном процессе
- •Семинары и самостоятельные работы студентов
- •РРис.23
- •Все лисицы - позвоночные.
- •2.Все птицы имеют оперение.
- •Контрольные работы
- •Вопросы экзаменационных билетов
- •Кроссворд по теме “Понятие”
- •Ответы на кроссворд
- •Формы внеаудиторной работы со студентами
- •§ 2. Специфика методики преподавания логики в средних педагогических учебных заведениях: педучилищах, педколледжах, подклассах (из опыта работы)
- •Кроссворд, составленный ученицей 11 класса Татьяной и.'
- •Ответы на кроссворд
- •По горизонтали:
- •Ответы на кроссворд
- •Тест айзенка (стр. 342-358)
- •§ 3. Методика повышения логической культуры учащихся начальной и средней школы (из опыта работы)
- •II. Требования к оформлению работы
- •1. В письменном отчете о проведенной педпрактике по логике необходимо описать проведенные занятия с учащимися и сделать приложение по следующей схеме (см. Табл., с. 361).
- •1См.: Гетманова а.Д. Учебник по логике. Серия “Российский лицей”. М.,1994. С. 54-57.
- •Задания по логике для студентов второго курса на период педагогической практики в 1987/88 учебном году
- •Глава X этапы развития логики как науки
- •§ 1. Краткие сведения из истории классической и неклассических логик
- •Логика в Древней Индии
- •Логика Древнего Китая
- •Логика в Древней Греции
- •Логика в средние века
- •Логика эпохи Возрождения и Нового времени'
- •Логика в России
- •Математическая логика
- •§ 2. Развитие логики в связи с проблемой обоснования математики
- •§ 3. Интуиционистская логика
- •§ 4. Конструктивные логики
- •Конструктивные исчисления высказываний в. И. Гливенко и а. Н. Колмогорова
- •Конструктивная логика а. А. Маркова
- •§ 5. Многозначные логики
- •Трехзначная система Лукасевнча
- •Отрицание Лукасевича
- •Трехзначная система Гейтинга
- •Импликация Гейтинга
- •Две бесконечнозначные системы Гетмановой:
- •§ 6. Законы исключенного третьего и непротиворечия в неклассических логиках (многозначных, интуиционистской, конструктивных)
- •§ 7. Модальные логики
- •§ 8. Положительные логики
- •§ 9. Паранепротиворечивая логика
- •Заключение
- •1. Предмет и значение логики.
- •2. Понятие.
- •3. Суждение.
- •4. Умозаключение.
- •5. Логические основы теории аргументации.
- •Вопрос 260-265
- •Еебулид 383
- •ИвинА.А.97,43”
- •ЛуллийР. 385 Львов м.Р. 273, 274, 275,293, 294, 299, 329 Льюис к. И. 434,435,436,437, 443,457
- •Сократ 380,381
- •Свинцов в. И. Логика. М., 1987.
- •II. Популярная литература
- •III. Литература по педагогическим приложениям логики
Трехзначная система Гейтинга
В двузначной логике из закона исключенного третьего выводятся: 1) →х; 2) х. Исходя из утверждения, что истинным является лишь второе, нидерландский логик и математик А. Рейтинг (1898-1980) разработал трехзначную пропозициональную логику. В этой логической системе импликация и отрицание отличаются от определений этих операций у Лукасевича лишь в одном случае. “Истина” обозначается 1, “ложь” - 0, “неопределенность” -1/2. Тавтология принимает значение 1.
Импликация Гейтинга
x \ y |
1 |
½ |
0 |
1 |
1 |
½ |
0 |
½ |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
Отрицание Гейтинга
x |
Nx |
1 |
0 |
½ |
0 |
0 |
1 |
Конъюнкция и дизъюнкция определяются обычным способом как минимум и максимум значении аргументов.
Если учитывать лишь значения функций 1 и 0, то из матриц системы Гейтинга вычленяются матрицы двузначной логики.
421
этой трехзначной логике закон непротиворечия является тавтологией, но ни закон исключенного третьего, ни его отрицание тавтологиями не являются. Оба правильных модуса условно-категорического силлогизма, формула (х у) (), правила де Моргана и закон исключенного четвертого (x)- тавтологии.
Хотя по сравнению с логикой Лукасевича в матрицах отрицания и импликации Рейтингом в его системе были произведены небольшие изменения, результаты оказались значительными: в системе Рейтинга являются тавтологиями многие формулы классического двузначного исчисления высказываний.
т-значиая система Поста (Рт )1
Система американского математика и логика Э. Л. Поста (1897- 1954) является обобщением двузначной логики, ибо при т = 2 в качестве частного случая мы получаем двузначную логику. Значения истинности суть 1, 2, ..., т (при т 2), где т -конечное число. Тавтологией является формула, которая всегда принимает выделенное значение, лежащее между 1 и т - 1, включая их самих.
Пост вводит два вида отрицания (N 1x и N 2х) соответственно называемые циклическим и симметричным. Они определяются путем матриц и посредством равенств.
Первое отрицание определяется двумя равенствами:
1. [N 1x]=[x]+1 при [х] т-1.
2. [N 1m]=1.
Второе отрицание определяется одним равенством:
[N 2 x]=m-[x]+1
Характерной особенностью двух отрицаний Поста является то, что при т = 2 эти отрицания совпадают между собой и с отрицанием двузначной логики, что подтверждает тезис: многозначная система Поста есть обобщение двузначной логики.
______________________________
'См.: PoslE.L. Introduction to a General Theory of Elementary Propositions // American Journal of Mathematics. 1921. Vol. 43. №3.
422
Этапы развития логики как науки и основные
направления современной символической логики
X |
N 1x |
N 2 x |
1 |
2 |
m |
2 |
3 |
m – 1 |
3 |
4 |
m –2 |
4 |
5 |
m – 3 |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
m – 1 |
m |
2 |
m |
1 |
1 |
Конъюнкция и дизъюнкция определяются соответственно как максимум и минимум значений аргументов. При указанных определениях отрицания, конъюнкции и дизъюнкции обнаруживается, что при значении для х, большем двух, законы непротиворечия и исключенного третьего, а также отрицание этих законов не являются тавтологиями.
Трехзначная система Р3 Поста имеет следующую указанную в таблицах форму. В этих таблицах приняты обозначения, введенные Постом при m = 3: первое отрицание обозначается через ( ~ 3 р ), второе отрицание - через ( 3 р), конъюнкция через (р.3 р), дизъюнкция - через
рv3 р), импликация - через (р 3 q), эквиваленты - через ( р 3 q ).
р |
~3 p |
≈3 p |
1 |
2 |
3 |
2 |
3 |
2 |
3 |
1 |
1
|
Пояснения |
Первое отрицание |
Второе отрицание |
q \ p
|
р.3 q |
рv3q |
р 3q |
р 3 q .
|
||||||||||||
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
|||||
1 |
1 |
2 |
3 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
||||
2 |
2 |
2 |
3 |
1 |
2 |
2 |
1 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
||||
3 |
3 |
3 |
3 |
1 |
2 |
3 |
1 |
1 |
1 |
3 |
2 |
1 |
||||
Пояснения |
max(p,q) |
min(p,q) |
(3 р) v3q |
(р 3q)^3(qp) |
423
Если в качестве значений истинности взяты лишь 1 “истина” и 3 “ложь”, то из таблиц системы Р3 Поста вычленяются таблицы для отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эквиваленции двузначной логики.
В системе Р3 тавтология принимает значение 1; закон исключенного третьего не является тавтологией ни для первого, ни для второго отрицания Поста, но является тавтологией закон исключенного четвертого для первого отрицания.