3. Исследование на устойчивость по первому приближению.

Рассмотрим нелинейную нормальную систему дифференциальных уравнений

(1)

где – дифференцируемые в окрестности начала координат функции.

Напомним, что исследование на устойчивость точки покоя системы (1) эквивалентно исследованию на устойчивость некоторого решения системы дифференциальных уравнений

(2)

т.к. система (1) может быть получена из (2) после замены

в результате, которой из (2) имеем

(3)

Обозначив правую часть в (3) через получим систему (1). Из (3) и (2) видно, что в точке покоя, т.е. при правые части системы (1) обращаются в нуль:, т.е. - это точка покоя.

Теперь, с учетом этого обстоятельства и пользуясь дифференцируемостью функций , представим систему (1) в окрестности начала координат в следующем виде

(4)

где имеют порядок выше первого относительно .

Будем исследовать на устойчивость точку покоя линейной системы

(5)

называемой системой уравнений первого приближения для системы (4).

Если все коэффициенты , т.е. система (1) стационарна в первом приближении, то исследование на устойчивость линейной системы (5) не представляет принципиальных затруднений (см.раздел 1.3). В отношении системы (4) имеют место следующие теоремы.

Теорема 1. Если система уравнений (4) стационарна в первом приближении, все члены в достаточно малой окрестности начала координат (при ) удовлетворяет неравенствам , где и - постоянные, причем и все корни характеристического уравнения

(6)

имеют отрицательные действительные части, то тривиальное решение системы (4) и системы уравнений (5) асимптотически устойчивы, следовательно, в этом случае возможно исследование на устойчивость по первому приближению.

Теорема 2. Если система уравнений (4) стационарна в I приближении, все функции удовлетворяют условиям предыдущей теоремы, и хотя бы один корень характеристического уравнения (6) имеет положительную действительную часть, то точки покоя системы (4) и системы (5) неустойчивы, следовательно, и в этом случае возможно исследование на устойчивость по I приближению

В так называемом критическом случае, когда все действительные части корней характеристического уравнения неположительны, причем действительная часть хотя бы одного корня равна нулю, на устойчивость тривиального решения системы (4) начинают влиять нелинейные члены , и исследование на устойчивость по первому приближению, вообще говоря, невозможно.

Докажем теорему 1 в предположении, что все корни характеристического уравнения (6) действительны и различны

при .

В векторных обозначениях системы (4) и (5) примут соответственно следующий вид

(4а)

, (5а)

где

С помощью невырожденного линейного преобразования с постоянными коэффициентами , где

преобразуем систему (5а) к виду

или

в котором матрица диагональна

,

т.е. система (5) примет вид

а система (4) при том же преобразовании переходит в

(7)

где , - постоянная величина, (т.к. ).

Для системы (7) функцией Ляпунова, удовлетворяющей условиям теоремы об асимптотической устойчивости, является

Действительно,

1)

2)

при достаточно малых , т.к. все , а величина при достаточно малых может быть сделана по модулю меньше суммы .

Наконец, вне некоторой окрестности начала координат . Таким образом, система (7), а, следовательно, и (4), как и система (5), асимптотически устойчива. Ч.т.д.

Пример 1.

Исследовать на устойчивость точку покоя системы

(8)

Здесь , т.е. . Удовлетворяются условию теорем 1 и 2. Поэтому исследуем на устойчивость точку покоя системы первого приближения.

(9)

Характеристическое уравнение

имеет корни , следовательно, в силу теоремы 2 точка покоя систем (8) и (9) неустойчива (т.к. ).

Пример 2.

Исследовать на устойчивость точку покоя системы

(10)

Имеем:

(10a)

т.е. удовлетворяют условиям теорем 1 и 2. Характеристическое уравнение для системы первого приближения

(11)

т.е.

имеет корни с отрицательными действительными частями. Поэтому точки покоя систем (10) и(11) асимптотически устойчивы.

Пример 3.

Исследовать на устойчивость точку покоя системы

(12)

Характеристическое уравнение системы I приближения имеет чисто мнимые корни критический случай. Исследование по I приближению невозможно. В данном случае легко подбирается функция Ляпунова

1)

2)

причем вне некоторой окрестности начала координат , следовательно, точка покоя по теореме Ляпунова асимптотически устойчива.

Система уравнений первого приближения

(13)

имела в точке покоя центр. Наличие нелинейных членов в системе (12) превратило этот центр в устойчивый фокус.

Рассмотрим ситуацию последнего примера в общем виде. Пусть система I приближения для системы

(14)

имеет точку типа центра в начале координат. Предположим, что нелинейные члены имеют порядок выше первого относительно . Эти нелинейные члены в достаточно малой окрестности начала координат малы по сравнению с линейными членами, но всё же они несколько искажают поле направлений, определяемое линейной системой первого приближения, поэтому выходящая из некоторой точки траектория после обхода начала координат, вообще говоря, не попадет в точку траектория не замыкается.

Если после такого обхода начала координат все траектории приближаются к нему, то в начале координат возникает устойчивый фокус, если же траектории удаляются от начала координат, то возникает неустойчивый фокус.

В виде исключения возможен также случай, когда все траектории нелинейной системы, расположенные в окрестности начала координат, остаются замкнутыми, однако наиболее типична ситуация, при которой лишь некоторые (может быть и ни одной)

замкнутые кривые останутся замкнутыми, а остальные превращаются в спирали. Такие замкнутые траектории, в окрестности которых все траектории являются спиралями, называются предельными циклами.

Рис. 1 Рис. 2

Если близкие к предельному циклу траектории являются спиралями, приближающиеся при к предельному циклу, то предельный цикл называется устойчивым (аттрактором); если близкие к предельному циклу траектории являются спиралями, удаляющимися от предельного цикла при , то предельный цикл называется неустойчивым (репеллером); если же с одной стороны предельного цикла при спирали приближающиеся к предельному циклу, а с другой стороны удаляются от него (рис. 2), то предельный цикл называется полуустойчивым.

Итак, переход от системы I приближения (5) к системе (14) приводит, вообще говоря, к превращению центра в фокус, окруженный (может быть и ) предельными циклами.

В приложениях устойчивым предельным циклам обычно соответствуют автоколебательные процессы, т.е. периодические процессы, в которых малые возмущения практически не изменяют амплитуды и частоты колебаний.