- •Федеральное агентство связи
- •Московский технический университет связи и информатики
- •Конспект лекций по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Ч.3.
- •1. Понятие об устойчивости решений дифференциальных уравнений.
- •1.1. Простейшие типы точек покоя.
- •1.2. Замечания по поводу классификации точек покоя.
- •1.3. Однородная система линейных уравнений с постоянными коэффициентами.
- •2. Теоремы Ляпунова об устойчивости.
- •3. Исследование на устойчивость по первому приближению.
- •4. Дифференциальные уравнения с частными производными первого порядка
- •4.1. Первые интегралы систем дифференциальных уравнений
- •4.2. Характеристики
- •5. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка с независимыми переменными.
- •6. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.
- •Конспект лекций по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Ч.3.
4.2. Характеристики
Вернемся к системе дифференциальных уравнений векторных линий
. (11)
Пусть , - два независимых первых интеграла системы (10). Выделим из двухпараметрического семейства векторных линий
, ,
называемых характеристиками уравнения (3) (или (6)), произвольным способом однопараметрическое семейство, устанавливая какую-нибудь (произвольную) непрерывную зависимость между параметрами и . Исключая из системы
, ,
параметры и , получим искомое уравнение векторных поверхностей
, (12)
где – произвольная функция. Тем самым найден общий интеграл квазилинейного уравнения (3), зависящий от произвольной функции.
Если требуется найти не произвольную векторную поверхность поля
,
а поверхность, проходящую через заданную линию, определяемую уравнениями , то функция в (12) будет уже не произвольной, а определится путем исключения переменных из системы уравнений
, ,
которые должны одновременно удовлетворяться в точках заданной линии , через которую мы проводим характеристики, определяемые уравнениями .
Задача станет неопределенной, если заданная линия является характеристикой, т.к. в этом случае эту линию можно включить в различные однопараметрические семейства характеристик и тем самым получить различные интегральные поверхности, проходящие через эту линию.
Таким образом, характеристики – это кривые, через которые проходит бесконечное множество интегральных поверхностей.
Итак, общий интеграл квазилинейного уравнения
, (3)
зависящий от произвольной функции может быть получен следующим образом: интегрируем вспомогательную эквивалентную систему обыкновенных дифференциальных уравнений
(4)
и, найдя два независимых первых интеграла этой системы
, ,
получаем искомый интеграл в виде , где – произвольная функция.
Уравнение интегральной поверхности уравнения (3), проходящей через заданную линию , можно найти, если взять функцию не произвольно, а определив функцию путем исключения из уравнений
, ,
в результате чего получим уравнение , и искомым интегралом будет .
Пример 5.
Найти общий интеграл уравнения
.
Вспомогательная система уравнений имеет вид (здесь )
.
Ее первые интегралы: . Общий интеграл: , где – произвольная функция.
Пример 6.
Найти интегральную поверхность уравнения
,
проходящую через кривую .
Интегрируем систему
,
откуда имеем первые интегралы: . Исключаем из уравнений
, .
Получаем , откуда .
Пример 7.
Найти интегральную поверхность того же уравнения, проходящую через окружность
.
Заданная кривая является одной из векторных линий (характеристик), таким образом, задача неопределенна. Действительно, интегральными поверхностями рассматриваемого уравнения являются всевозможные поверхности вращения , ось которых совпадает с осью . Существует бесконечное множество таких поверхностей, проходящих через заданную окружность, например, параболоиды вращения , , , , сфера и т.д.
5. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка с независимыми переменными.
Рассмотрим уравнение вида
, (1)
где – заданные функции, непрерывные и дифференцируемые в рассматриваемой области изменения независимых переменных ; – искомая функция. Наряду с уравнением (1) запишем систему обыкновенных дифференциальных уравнений
, (2)
которую будем называть соответствующей уравнению (1).
Задачи интегрирования уравнения (1) и системы (2) эквивалентны. Имеет место следующая
Теорема 1. Левая часть любого I-го интеграла системы (2) есть решение уравнения (1); обратно, всякое решение уравнения (1), приравненное произвольной постоянной, дает I-й интеграл системы (2).
Пусть
совокупность независимых I интегралов системы (2).
В пространстве с координатами эта система интегралов определяет - параметрическое семейство линий – характеристик уравнения (1). Докажем сначала первое утверждение теоремы.
Вдоль любой интегральной кривой системы (2) имеем
. (3)
Но вдоль интегральной кривой системы (2) дифференциалы пропорциональны функциям , следовательно, в силу однородности относительно левой части тождеств
дифференциалы могут быть заменены пропорциональными им величинами , при этом получим, что вдоль интегральных кривых системы (2)
. (4)
Интегральные кривые системы (2) проходят через каждую точку рассматриваемой области изменения независимых переменных (в силу теоремы существования), и левая часть (4) не зависит от постоянных и, следовательно, не меняется при переходе от одной интегральной кривой к другой, значит, тождество (4) справедливо не только вдоль некоторой интегральной кривой, но и во всей рассматриваемой области изменения переменных , а это и означает, что функция является решением исходного уравнения
. (1)
Обратно, пусть некоторая функция обращает уравнение (1) в тождество (во всей области изменения переменных ):
.
Поскольку вдоль любой интегральной кривой системы (2) и пропорциональны, то
,
а, следовательно, вдоль интегральной кривой, а это и значит (в силу теоремы единственности), что есть первый интеграл системы (2) (по определению). Ч.т.д.
Теорема 2. , где – произвольная дифференцируемая функция, - независимые I-е интегралы системы (2), является общим решением уравнения (1), т.е. решением, содержащим все без исключения решения этого уравнения.
Пусть есть некоторое решение уравнения (1). Докажем, что существует функция такая, что . Так как являются решениями уравнения (1), то
(5)
Эта система в каждой точке x,…,x рассматриваемой области имеет нетривиальное решение, т.к. по предположению не обращаются в нуль одновременно. Поэтому определитель
тождественно равен нулю в рассматриваемой области. Но это означает, что между функциями имеется функциональная зависимость
. (6)
В силу независимости I-х интегралов системы (2) по крайней мере один из миноров порядка якобиана
вида
отличен от нуля. Следовательно, уравнение (6) можно представить в виде
.
Ч.т.д.
Пример .
Проинтегрировать уравнение
.
Система уравнений характеристик
имеет следующие независимые первые интегралы
.
Общее решение исходного уравнения имеет, таким образом, следующий вид
и является произвольной однородной функцией нулевой степени однородности.