Раздел "Интегральное исчисление функции одной переменной"

1. Интегрированием называется действие, обратное дифференцированию, т.е. действие, в результате которого находится функция, производная которой равна заданной функции.

2. Функция называется первообразной для данной функции , если для любого x из области определения выполняется равенство:

, (17)

или:

. (18)

3. Множество всех первообразных для данной функции , где С принимает все возможные числовые значения, называется неопределенным интегралом от функции и обозначается символом .

Таким образом, по определению, неопределенный интеграл есть

= , (19)

где C – произвольная постоянная;

– первообразная для функции , т.е. функции и связаны соотношением (17): .

4. Основные свойства неопределенного интеграла.

Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.:

. (20)

Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.:

. (21)

Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен самой функции с точностью до произвольной постоянной C, т.е.:

= . (22)

Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла, т.е.:

, (k  0). (23)

Интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций, например, в случае двух функций:

. (24)

Свойство инвариантности:

если = и ,

то:

= . (24)

Таблица 2.

5.Таблица основных интегралов ¹

№ п/п	Интеграл	№ п/п	Интеграл
1		9
2		10
3		11
4		12
5		13
6		14
7		15
8		16

6. Формула интегрирования по частям:

, (25)

где , дифференцируемые функции.

7. Определенным интегралом от функции на отрезке [a,b] называется конечный предел ее энной интегральной суммы, когда число элементарных отрезков неограниченно возрастает, а длина наибольшего из них стремится к нулю.

Определенный интеграл обозначают символом .

По определению:

. (26)

где – подынтегральная функция;

x – переменная интегрирования;

число – нижний предел интегрирования;

число b – верхний предел интегрирования;

– отрезок интегрирования.

7. Формула Ньютона-Лейбница:

. (27)

где: есть какая-либо первообразная для подынтегральной функции ².

8. Формула интегрирования по частям для определенного интеграла:

. (28)

где , функции, имеющие непрерывные производные на отрезке .

9. Метод замены переменной (метод подстановки) для вычисления определенного интеграла выражается формулой

, (29)

где: ;

, .

10. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию y = f(x) и ее производные .

Символическая запись дифференциального уравнения:

. (30)

11. Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

12. Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется функция:

, (31)

зависящая от n произвольных постоянных и удовлетворяющая дифференциальному уравнению при любых значениях .

13. Частным решением дифференциального уравнения называется любая функция, полученная из общего решения при конкретных числовых значениях произвольных постоянных:

. (32)

14. Задача отыскания частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям, называется задачей Коши.

15. Теорема Коши (теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения). Если в уравнении функция и ее частная производная f_y непрерывны в некоторой области D, содержащей точку(х₀, у₀),то существует, и притом единственное, решение этого уравнения , удовлетворяющее условию:

(33)

Условие (33) есть начальное условие для дифференциального уравнения первого порядка.

Таким образом, теорема Коши утверждает, что существует, и притом единственное, решение задачи Коши.