- •Часть 2
- •Часть 2
- •Содержание
- •Введение
- •1. Требования к выполнению контрольной работы
- •2. Основные формулы, термины и определения
- •Раздел "Интегральное исчисление функции одной переменной"
- •3. Примерный вариант контрольной работы №2 Задание № 1 по теме "Дифференциальное исчисление функции одной переменной"
- •Задание № 2 по теме "Интегральное исчисление функции одной переменной"
- •4. Решение примерного варианта контрольной работы Задание № 1 по теме "Дифференциальное исчисление функции одной переменной"
- •Задание № 2 по теме "Интегральное исчисление функции одной переменной"
- •5. Варианты контрольных работ для слушателей зачного отделения
- •Контрольная работа № 2
- •Вариант № 1
- •Задание № 1
- •Задание № 2
- •Вариант № 4 Задание № 1
- •Задание № 2
- •Вариант № 5 Задание № 1
- •Задание № 2
- •Вариант № 6 Задание № 1
- •Задание № 2
- •Вариант № 7 Задание № 1
- •Задание № 2
- •Вариант № 8 Задание № 1
- •Задание № 2
- •Вариант № 9 Задание № 1
- •Задание № 2
- •Вариант № 10 Задание № 1
- •Задание № 2
- •Рекомендуемая литература
- •Образец оформления титульного листа контрольной работы
- •Часть 2
3. Примерный вариант контрольной работы №2 Задание № 1 по теме "Дифференциальное исчисление функции одной переменной"
-
Найти пределы функции при различных значениях a (не применяя правила Лопиталя):
y = ɑ = 2; ɑ = 1; ɑ .
-
Вычислить производную функций:
1). ;
2).
-
Вычислить y' в точке x0 :
; x0 = – 5.
-
Найти экстремумы функции:
.
-
Найти наибольшее и наименьшее значение функции y на отрезке [– 4, 4]:
.
-
Вычислить , если:
y = ; ɑ = – 5.
Задание № 2 по теме "Интегральное исчисление функции одной переменной"
-
Вычислить неопределенный интеграл:
.
-
Вычислить неопределенный интеграл:
.
-
Вычислить неопределенный интеграл:
.
-
Вычислить определенный интеграл:
.
-
Вычислить определенный интеграл
.
-
Вычислить определенный интеграл:
.
-
Решить дифференциальное уравнение:
.
-
Решить задачу Коши:
.
4. Решение примерного варианта контрольной работы Задание № 1 по теме "Дифференциальное исчисление функции одной переменной"
Задача 1. Найти пределы функции при различных значениях ɑ (не применяя правила Лопиталя):
y =; ɑ = 2; ɑ = 1; ɑ .
Решение
-
Рассмотрим случай, когда ɑ = 2.
Вычислим предел, пользуясь теоремами о пределах:
.
2. Рассмотрим случай, когда ɑ = 1.
При числитель и знаменатель дроби стремятся к нулю. В этом случае говорят, что мы имеем неопределенность типа и вычисление предела называют раскрытием неопределенности. Для раскрытия неопределенности выполним тождественные преобразования – разложим числитель и знаменатель на множители:
;
.
Сократим дробь на общий множитель скобку
.
Функции и совпадают при всех значениях х, отличных от 1 (в окрестности точки х = 1), следовательно, их пределы при равны:
.
3. Рассмотрим случай, когда ɑ .
Числитель и знаменатель дроби стремятся к бесконечности при , т.е. мы имеем неопределенность типа . Для раскрытия неопределенности преобразуем дробь, разделив числитель и знаменатель на :
.
Ответ: 1/6; 0; 1.
Задача 2. Вычислить производную функций:
1). ;
2). .
Решение
1. Вычислим производную функции, пользуясь правилами дифференцирования (см.формулы (2) – (6)) и таблицей производных для основных элементарных функций (см. таб.1):
.
2. Вычислим производную функции, пользуясь правилами дифференцирования, таблицей производных и теоремой о дифференцировании сложной функции (8):
Ответ: 1) ; 2) .
Задача 3. Вычислить y' в точке x0:
; x0 = – 5.
Решение
1. Пользуясь правилами дифференцирования ((2) – (6)), найдем производную, как функцию от х:
=
=.
2. Вычислим производную в точке x0 = 5.
.
Ответ: .
Задача 4. Найти экстремумы функции .
Решение
1. Найдем производную функции
.
2. Производная существует при любых значениях х. Найдем критические точки производной из условия :
.
Решив квадратное уравнение
,
получим две критические точки , .
3. Определим знаки производной слева и справа от критических точек.
Промежуток |
( – , 2) |
(2, 4) |
(4, ) |
Знак |
+ |
– |
+ |
Функция |
|
|
|
Знак производной меняется в критических точках , , следовательно, функция имеет в этих точках экстремумы, а именно: функция имеет максимум в точке (знак меняется с + на – ) и минимум в точке (знак меняется с – на +).
4. Определим значения функции в точках минимума и максимума, т.е. в точках , .
;
.
Ответ: , .
Задача 5. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [– 4, 4].
Решение
1.Найдем экстремумы функции, лежащие внутри отрезка [– 4, 4].
Производная функции
.
Решив уравнение
,
найдем критические точки
,.
Вычислим значения функции в критических точках
; .
2. Вычислим значения функции на концах отрезка [– 4, 4].
; .
3. Сравнивая вычисленные значения функции, находим, что наибольшее значение функции на отрезке [– 4, 4] равно 40 и достигается в критической точке , а наименьшее значение равно –41 на конце отрезка, в точке .
Ответ: ; .
Задача 6. Вычислить предел , если:
y = ; ɑ = – 5.
Решение
При числитель и знаменатель данной дроби стремятся нулю, т.е. вычисление предела сводится к раскрытию неопределенности типа и мы можем применить правило Лопиталя (16).
Вычисляя предел по правилу Лопиталя, получим
.
Ответ: .