Векторное пространство

Контрольные вопросы:

1. Линейное пространство. Векторное пространство.

2. Свойства линейных операций над векторами.

3. Скалярное произведение двух векторов. Некоторые приложения скалярного произведения.

4. Евклидово пространство.

5. Векторное произведение двух векторов. Некоторые приложения векторного произведения.

6. Смешанное произведение трех векторов.

7. Собственные значения и собственные векторы матрицы.

1. Линейное пространство. Векторное пространство.

Совокупность векторов одной размерности называют системой векторов и обозначают:

(1)

Система ненулевых векторов (1) называется линейно зависимой, если существуют такие числа , не равные нулю одновременно, что линейная комбинация данной системы с указанными числами равна нулевому вектору:

(2)

Если равенство (2) для данной системы векторов (1) возможно лишь при , то такая система векторов называется линейно независимой.

Максимально независимой подсистемой системы векторов (1) называется частичный набор векторов этой системы, удовлетворяющий условиям: 1) векторы этого набора независимы; 2) любой вектор системы (1) линейно выражается через векторы этого набора.

Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее приведенным ниже восьми свойствам (рассматриваемым как аксиомы), называется векторным пространством.

2. Линейные операции над любыми векторами удовлетворяют следующим свойствам:

1°. х+у=у+х – коммутативное (переместительное) свойство сложения.

2°. (х+у)+z=x+(y+z) – ассоциативное (сочетательное) свойство сложения.

3°. α(βх)=(αβ)х – ассоциативное свойство относительно числового множителя.

4°. α(х+у)=αх+αу – дистрибутивное (распределительное) свойство относительно суммы векторов.

5°. (α+β)х=αх+βх – дистрибутивное свойство относительно суммы числовых множителей.

6°. Существует нулевой вектор 0=(0;0;…0) такой, что х+0=х для любого вектора х.

7°. Для любого вектора х существует противоположный вектор (-х) такой, что х+(-х)=0.

8°. для любого вектора х.

Отметим, что под х, у, z можно рассматривать не только векторы, но и элементы (объекты) любой природы. В этом случае множество элементов называется линейным пространством.

3. Скалярным произведением двух векторов и называется число, определяемое равенством

(3)

где φ – угол между векторами и .

Некоторые приложения скалярного произведения.

1.Угол между векторами.

Определение угла между ненулевыми векторами и :

т.е.

Отсюда следует условие перпендикулярности ненулевых векторов и :

2.Работа постоянной силы.

Пусть материальная точка перемещается прямолинейно из положения в положение под действием постоянной силы , образующей угол с перемещением (рис. 2).

Рис. 2

Из курса физики известно, что работа силы при перемещении равна , т.е. .

Таким образом, работа постоянной силы при прямолинейном перемещении ее точки приложения равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения.

Пример 3. Вычислить работу, произведенную силой , если точка ее приложения перемещается прямолинейно из положения в положение . Под каким углом к направлена сила ?