Решение.

Найдем . Следовательно,

(ед. работы).

Угол между и находим по формуле т. е.

4. Евклидово пространство.

Скалярное произведение имеет следующие свойства:

1°. ху=ух – коммутативное свойство.

2°. х(у+z)=xy+xz – дистрибутивное свойство.

3°. (αх)у=α(ху) – для любого действительного числа α.

4°. хх>0, если х – ненулевой вектор, хх=0, если х – нулевой вектор.

Линейное (векторное) пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее указанным четырем свойствам (рассматриваемым как аксиомы), называется евклидовым пространством.

5. Векторным произведением двух векторов и называется вектор , длина которого равна произведению длин векторов и на синус угла между ними и который направлен перпендикулярно векторам и так, что векторы , и образуют правую тройку векторов (рис. 3):

(4)

Геометрически равен площади S параллелограмма, построенного на векторах и :

Рис. 3

Условие коллинеарности векторов:

Если , то (и наоборот), т. е.

Некоторые приложения векторного произведения.

1.Определение момента силы относительно точки.

Пусть в точке приложена сила и пусть - некоторая точка про­странства (рис. 4).

Из курса физики известно, что моментом силы относительно точки называется вектор , который проходит через точ­ку и:

1) перпендикулярен плоскости, прохо­дящей через точки

2) численно равен произведению силы на плечо

3) образует правую тройку с векторами и .

Значит, .

Рис.4

2.Нахождение линейной скорости вращения.

Скорость точки твердого тела, вращающегося с угловой скоростью во­круг неподвижной оси, определяется фор­мулой Эйлера , где , где — некоторая неподвижная точка оси (рис. 5).

Рис.5

6. Смешанным произведением трех векторов , и называется число, равное

(5)

Модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на векторах , и .

Условие компланарности векторов.

Векторы и компланарны тогда и только тогда, когда их смешан­ное произведение равно нулю при условии, что :

векторы компланарны.

Пример 4. По координатам вершин пирамиды найти: 1) длины ребер и ; 2) угол между ребрами и ; 3) площадь грани ; 4) объем пирамиды.

Решение.

1) Найдем векторы и :

.

Найдем длины этих векторов, т.е. длины ребер и :

.

2) Скалярное произведение векторов и найдем по формуле (3):

,

косинус угла между этими векторами – по формуле:

.

Следовательно, φ – тупой угол, равный рад с точностью до 0,01. Это есть искомый угол между ребрами и .

7. Вектор-столбец

называется собственным вектором квадратной матрицы А n-го порядка, соответствующим собственному значению λ, если он удовлетворяет матричному уравнению или .

Здесь Е – единичная матрица n-го порядка, 0 – нулевой вектор-столбец. При условии, что вектор , получаем характеристическое уравнение для определения собственных значений λ:

(6)

Координаты собственного вектора , соответствующего собственному значению , являются решением системы уравнений:

(7)

Собственный вектор определяется до постоянного множителя.

Пример 5. Определить собственные значения и собственные векторы матрицы

.