3.1.1.2. Выбор частоты дискретизации в реальных условиях

Следует отметить, что на практике дискретизация осуществляется последовательностью импульсов конечной длительности. Таким импульсам соответствуют средние значения преобразуемой функции в течение их длительности, рис.3.10.

Рис.3.10. Дискретизация сигнала последовательностью импульсов конечной длительности

В этом случае преобразование Фурье дискретизированного сигнала будет иметь следующий вид /6,7/:

(3.9)

При этом предполагается, что амплитуда импульсов равна 1.

Как видно из выражения (3.9), спектр дискретизированного сигнала представляет собой последовательность спектров исходного сигнала , сдвинутых один относительно другого на и убывающих по закону . Если шаг выборок в соответствии с теоремой отсчетов выбран из условия , то отдельные спектры не перекрываются и могут быть разделены с помощью фильтров, рис.3.11.

Рис.3.11. Спектры исходного (а) и дискретизированного (б) сигналов

С уменьшением отношения лепестки спектра убывают медленнее и в пределе, при , спектр приобретает строго периодическую структуру.

Так как модуль спектра исходного сигнала изменяется в раз, то, очевидно, влиянием ширины импульсов дискретизации пренебречь нельзя. Исследуем этот вопрос более подробно. Для того, чтобы влияние было меньше одного процента для всех частот вплоть до , необходимо выполнение неравенства /7/:

или, что то же самое (для )

Отсюда получим, что т.е. ширина импульса дискретизации должна быть меньше 16% интервала дискретизации.

Если погрешность из-за конечной длительности импульса дискретизации ограничить величиной 0,1%, то его ширина не должна превышать 4% интервала дискретизации.

На практике в большинстве случаев дискретизация производится путем взятия выборок в некоторый момент времени и запоминания их значения с тем, например, чтобы иметь время для выполнения аналого-цифрового преобразования. Время хранения может быть намного меньше, чем ширина импульса дискретизации. Следовательно, в этом случае можно использовать результаты, полученные для дискретизации с помощью импульсов бесконечно малой ширины.

Вообще говоря, для осуществления дискретизации на практике необходимо знать с какой целью осуществляется эта операция: с целью дальнейших вычислений или с целью восстановления его непрерывного аналога.

Рассмотрим дискретизацию с целью дальнейших вычислений. Пусть мы имеем некоторую функцию независимой переменной . Для упрощения дальнейших вычислений предположим (это не изменит полученных результатов), что спектр этого сигнала сосредоточен в частотном интервале . Согласно теореме отсчетов, шаг дискретизации должен удовлетворять неравенству . Если дискретизация функции произведена при выполнении этих условий, то по значениям функции в точках дискретизации можно восстановить непрерывный сигнал для всех его значений между точками отсчета. Используя интерполяционную формулу, получим

(3.10)

Из выражения (3.10) видно, что вычисление любых значений функции сводится к вычислению только значений в точках дискретизации, т.е. вся информация о функции содержится в ее отсчетных значениях.

Используя формулу (3.10), можно вычислить среднее значение функции :

(3.11)

Выполнив несложные преобразования, получим

Так как отношение равно , т.е. числу точек дискретизации функции , то окончательно получим

Аналогичным образом можно получить выражение для корреляционной функции

Из всего изложенного следует, что для вычисления основных характеристик и числовых параметров функции , а также для вычисления для всех значений достаточно знать значения сигнала только в точках дискретизации при условии, что шаг дискретизации удовлетворяет теореме отсчетов.

Рассмотрим далее дискретизацию с целью восстановления непрерывного сигнала. Несмотря на то, что интерполяционная формула (3.10) теоретически обоснована, ее практическое применение, особенно при приближенных вычислениях, затруднительно. На практике важно знать минимальное расстояние между двумя соседними точками дискретизации на временной оси, позволяющие применить достаточно простую интерполяционную формулу и тем самым восстановить исходный сигнал. Наиболее простой является линейная интерполяция с последующим применением низкочастотной фильтрации для сглаживания угловых точек интерполяционной линии (такой тип интерполяции соответствует широко применяемому на практике методу получения графиков, когда экспериментальные точки соединяются вручную). Очевидно, что частота дискретизации будет зависеть от допустимой погрешности при восстановлении функции по ее дискретным отсчетам и, конечно, от формы сигнала. Эта погрешность вычисляется обычным способом.

Обозначим через и точный и восстановленный сигналы. Пусть - допустимая погрешность дискретизации, которую определим следующим образом:

где в качестве берется максимальное значение .

Можно показать, что для синусоидального сигнала частоты частота дискретизации должна удовлетворять неравенству (3.12).

(3.12)

Если, например, , то , т.е. частота дискретизации должна быть приблизительно в 10 раз больше частоты дискретизации Котельникова.

В том случае, когда спектр сигнала ограничен некоторой максимальной частотой , то частота дискретизации должна удовлетворять неравенству:

Для тех же значений ошибки получим, что . Причем под максимальной частотой спектра следует всегда понимать ту частоту, после которой влиянием на сигнал всех частот, больших , можно пренебречь. При этом справедливо неравенство , где - коэффициент, учитывающий эффект ограничения спектра на частоте . Если и , получим, т.е. частота дискретизации оказывается почти равной частоте, выбираемой в соответствии с теоремой отсчетов.

На практике рекомендуется частоту дискретизации выбирать такой, чтобы заведомо исключить составляющие с частотами выше . Другими словами, частота дискретизации должна выбираться таким образом, чтобы частота наложения , равная , была заведомо больше максимально ожидаемой частоты в спектре исследуемого сигнала. В общем случае рекомендуется выбирать частоту наложения в 1.5 - 2 раза больше максимальной частоты в спектре, а значит, частоту дискретизации - в 3 - 4 раза.

В большинстве же случаев для экономии объема памяти, уменьшения времени вычислений и устранения эффекта наложения спектров применяют фильтры нижних частот (антиалайзинговые фильтры). При этом важно правильно определить характеристики низкочастотного фильтра. Первым шагом является получение характеристик сигнал, подлежащих дискретизации. В случае, когда наивысшая из интересующих частот равна , фильтр должен пропускать сигналы, лежащие в полосе частот от 0 до , тогда как сигналы с частотой выше должны ослабляться. Для высокоскоростных приложений, требующих высокой крутизны спада и малой неравномерности в полосе пропускания при линейной фазовой характеристике чаще используют фильтры Баттерворта, Чебышева и Кауэра (эллиптические) с крутизной спада АЧХ более 60 дБ на октаву. При этом частота дискретизации выбирается в 2-5 раз выше , где - частота среза ФНЧ.

Следует отметить, что недостаточная крутизна ФНЧ может компенсироваться более высокой частотой дискретизации (избыточной дискретизации) АЦП. При этом уменьшается и сложность разработки необходимого фильтра.

Процесс проектирования ФНЧ обычно начинается с выбора начальной частоты дискретизации от до . Если реализация такого фильтра окажется невозможной, то полезно рассмотреть вариант с более высокой частотой дискретизации, для которого может потребоваться более быстрый АЦП. В этом случае, например, можно применить сигма-дельта АЦП, которые изначально являются преобразователями с избыточной дискретизацией, что существенно снижает требование к предварительному ФНЧ и является дополнительным преимуществом данной архитектуры.

Выше рассмотрен случай низкочастотных сигналов, когда все сигналы, представляющие интерес, лежат в диапазоне от 0 до . Если полоса частот подлежащего дискретизации сигнала находится за пределами этого диапазона, то такую дискретизацию часто называют субдискретизацией или гармонической дискретизацией. Учитывая это, теорему отсчетов (критерий Найквиста) можно сформулировать следующим образом: для сохранения информации о сигнале частота дискретизации должна быть рпавной или большей удвоенной ширины его полосы.

В этой формулировке нет никакого упоминания об абсолютном местоположении полосы дискретизируемых сигналов частотном спектре относительно частоты дискретизации. Единственное ограничение состоит в том, чтобы частотная полоса подлежащих дискретизации сигналов не перекрывала полосу шириной с любым множителем (фактически это и является функцией антиалайзингового фильтра).

Дискретизация сигналов, лежащих выше полосы , часто называют первой зоной Найквиста, имеет большое значение в телекоммуникационных системах, так как это процесс эквивалентен аналоговой демодуляции. Уже стала обычной практикой дискретизация сигналов промежуточной частоты (ПЧ) м последующим использованием цифровых методов для обработки сигналов без демодулятора ПЧ. Вполне понятно, что с ростом ПЧ возрастают и требования к производительности АЦП. Ширина полосы входа АЦП и характеристики, связанные с допустимыми искажениями входных сигналов, должны соответствовать скорее ПЧ, чем основной полосе частот. Это является проблемой для большинства АЦП, предназначенных для обработки сигналов в первой зоне Найквиста.

Мы достаточно подробно рассмотрели равномерную дискретизацию. Однако в настоящее время для решения многих практических задач используется неравномерная дискретизация, когда длительность интервалов между отсчетами различна. Кроме того, для некоторых задач обнаружения или распознавания, дискретизация проводится случайным образом, так что расстояние между отсчетами выбирают случайно по заранее выбранному закону распределения. Более подробно с этими методами дискретизации можно ознакомиться в соответствующей литературе, например, /4,7,8/.