Математическое ожидание погрешности квантования

(3.17)

Дисперсия

(3.18)

П ри квантовании вторым способом, т.е. методом замены действительного значения ближайшим меньшим или большим дискретным значением плотность распределения погрешности определяется следующим выражением:

Математическое ожидание

.

Дисперсия погрешности

(3.20)

Из выражений (3.18) и (3.20) легко найти среднюю квадратическую погрешность квантования сигнала по уровню для равномерного квантования

(3.21)

Отсюда следует, что среднее квадратическое значение погрешности при достаточно малом шаге квантования может быть незначительным по сравнению c другими погрешностями, возникающими в процессе сбора и обработки данных.

Для описания равномерных квантователей достаточно задать два параметра: число уровней и шаг квантования . Число различимых уровней, размах процесса и шаг квантования связаны соотношением:

(3.22)

Число разрядов, требуемое при двоичном кодировании, определяется так:

(3.23)

где означает, что берется ближайшее к большее целое число, если не является степенью числа 2 (например, при для кодирования требуется 7-разрядное двоичное число).

Следует отметить, что - разрядный преобразователь имеет уровней и позволяет преобразовывать сигналы с амплитудой до уровней.

Таким образом, при двоичном кодировании шаг квантования определяется так:

(3.24)

Следовательно, погрешность квантования (максимальная) будет составлять или при квантовании с округлением. Другими словами, эта погрешность будет соответствовать единицы младшего разряда

Погрешность квантования, как видно из изложенного выше, зависит от величины шага квантования. Важно иметь достаточно малый шаг квантования , чтобы можно было бы адекватно отразить малые изменения амплитуды сигнала. В то же время с уменьшением шага квантования сильно возрастает избыточность информации и значительно увеличиваются затраты и стоимость вычислений. Для оптимизации процесса измерений нужно увеличивать шаг квантования до максимально допустимой величины, при которой еще не проявляются чрезмерно большие погрешности.

Несмотря на то, что погрешность квантования обычно пренебрежимо мала, на практике необходимо всегда стремиться к тому, чтобы диапазон изменений исходного непрерывного процесса занимал возможно большую часть шкалы квантования.

В связи с этим следует отметить, что качество многих устройств и систем обработки обычно характеризуют величиной их динамического диапазона. Она равна отношению уровней наибольшего сигнала, не вызывающего нелинейных искажений, и наименьшего сигнала, различимого в собственных шумах системы. Таким образом, величина динамического диапазона будет определяться максимальным значением отношения сигнал/шум (ОСШ), когда шум является аддитивным и стационарным.

В свою очередь, динамический диапазон и допустимый уровень шума квантования будут определять разрядность кодовых слов. Определим отношение сигнал/шум квантования выражением /9,10/:

(3.25)

где - среднее квадратическое значение преобразуемого сигнала, - среднее квадратическое значение шума квантования.

Подставляя в (3.25) выражение (3.20) с учетом (3.24), .получим

(3.26)

Предполагая диапазон квантования , получим

(3.27)

Выразим отношение сигнал/шум в децибелах

После несложных вычислений будем иметь

(3.28)

Как видно из последнего выражения, добавление одного разряда в кодовом слове АЦП улучшает отношение сигнал/шум на 6 дБ. Причем, это соотношение справедливо при следующих предположениях:

1) справедлива простая статистическая модель шума квантования, т.е. он является стационарным белым шумом, некоррелированным с входным сигналом и имеющим равномерное распределение в любом интервале квантования;

2) диапазон квантования установлен таким образом, что он превышает размах сигнала и, следовательно, диапазон квантования используется полностью, и в то же время количество отсчетов, не попадающих в него, достаточно мало.

Для многих сигналов эти предположения выполняются, если количество уровней квантования больше, чем . Однако имеются такие сигналы, энергия которых может изменяться более, чем на 40 дБ, что неизбежно приводит к ухудшению отношения сигнал/шум.

Чтобы поддержать погрешность квантования на приемлемом уровне, необходимо выбирать значительно больше уровней квантования, чем это следует из предварительного анализа. В большинстве случаев при обработке сигналов число двоичных разрядов АЦП выбирают равным 10-12 и более.

В заключение следует отметить, что желательно было бы иметь устройство квантования, при котором отношение сигнал/шум не зависит от уровня сигнала, а вместо постоянной, независящей от уровня сигнала погрешности (как это имеет место при равномерном квантовании) получают постоянную относительную погрешность. Это достигается путем использования неравномерного распределения уровней квантования /9/. Однако подробное изложение этих вопросов лежит за пределами рассматриваемого курса.