§ 9. Производственная функция

В дальнейшем мы будем рассматривать модели, в которых участвуют либо ВНД (валовой национальный доход), либо национальный доход. Как уже отмечалось, эти величины возникают в результате взаимодействия трех факторов производства: рабочей силы (), капитала () и земли (). Сказанное позволяет считать, что существует функциональная зависимость, устанавливающая величину выпуска продукта при том или ином объёме этих факторов: . Здесь – объём продукта (в зависимости от рассматриваемой модели, ВНД или национального дохода).

В тех моделях, которые мы будем рассматривать, земля считается постоянным неизменным фактором, поэтому производственная функция рассматривается как функция лишь 2-х аргументов:

Производственная функция отражает лишь технологические возможности экономики. Поскольку без капитала и рабочей силы выпуск невозможен, то.

Иногда, чтобы выяснить влияние на выпуск именно рабочей силы, считают, что капитал не изменяется:. В этом случае производственная функция будет зависеть лишь от рабочей силы:. И обратно, если зафиксировать, то . Понятно, что; – неубывающие функции.

В дальнейшем будем считать, что эти функции возрастают, непрерывны и, кроме того, дифференцируемы в любой внутренней точке их области определения. В силу закона убывающей доходности (см. п5 семинара) они должны быть вогнутыми. Убедимся в этом, рассмотрев функцию :

Отсюда, в частности:

При достаточно малых (достаточно больших ) величина будет достаточно малой, тогда из последнего неравенства получаем , то есть – невозрастающая функция, и значит, – вогнутая.

Более того, существует такое число , что в области функция будет строго вогнутой. Чтобы убедиться в этом, достаточно показать, что функция является убывающей для достаточно больших . Предположим противное. Тогда найдется отрезок, где = const. Тогда функция на промежутке будет линейной, и, как следствие,

C другой стороны, согласно закону об убывающей доходности для достаточно больших при любых должно быть строгое неравенство. Показанное противоречие доказывает неравенство.

Возможные графики изображены на рисунке «ромашка».

Замечание. Функции , не обязаны быть строго вогнутыми при достаточно больших значениях аргументов, если они не являются возрастающими. Так, например функция, изображенная на рисунке «тапочек» соответствует закону об убывающей доходности.

Вопрос о построении производственных функций не входит в нашу цель. Отметим лишь, что часто рассматривают производственные функции следующих видов:

• Функция Кобба – Дугласа:

• Функция с постоянной эластичностью замены:

§10. Список основных макроэкономических элементов

Приведем список основных элементов, которые будут использоваться в дальнейшем (указывается английское слово, первая буква которого применяется для обозначения переменной).

– выпуск агрегируемой продукции или стоимость агрегированного продукта.

– рабочая сила (labour)

– капитал (Kapital)

– потребление (consumption)

– инвестиция (investment)

– сбережения (saving)

– государственные расходы (government)

– объём денежной массы (money)

– налоги (tax)

– заработная плата (wage)

– реальная заработная плата (real wage)

– цена (price)

– норма процента (interest)