2. Критерий безусловной устойчивости Из всех критериев устойчивости только критерии Гурвица оперируют с символьными коэффициентами знаменателя функции k(s).

Идея получения критериев достаточно проста: необходимо синтезировать структуру системы такой, чтобы для неё неравенства выполнялись при любых значениях параметров элементов, формирующих коэффициенты a_i. Это можно выполнить при единственном условии: среди всех положительных слагаемых (например для n=3: a₂a₁), должны содержаться слагаемые тождественно равные отрицательным (a₀a₃) и ещё должно остаться какое-то число положительных слагаемых. Для синтезируемой функции получаем

где , , -- остатки многочленов a₁a₂, a₁a₂a₃ и a₃a₄ , полученные после выделения из них соответственно многочленов многочлен оставшийся от после выделения из него многочлена .

Приведём критерии Гурвица для систем, описываемых уравнениями до 3-го порядка:

Определитель Гурвица 3-го порядка:

Уравнение третьего порядка

.

(21)

Критерий Гурвица для системы третьего порядка:

3. Практическая часть

Для исследования задана следующая схема:

Рис.5. Заданная схема.

Преобразуем схему на рисунке 5 к схеме, более удобной для построения сигнального графа (рис.6).

Рис.6. Преобразованная схема.

Построим для преобразованной схемы сигнальный граф.

Рис.7. Сигнальный граф.

1. Исследуем устойчивость:

Приведем к общему знаменателю:

Приведем к общему знаменателю:

Определитель Гурвица 3-го порядка:

Уравнение третьего порядка

.

Критерий Гурвица для системы третьего порядка:

Выпишем коэффициенты при степенях для применения критерия Гурвица для :

Члены из скобок второго произведения () сокращаются с положительными, таким образом, остается выражения с отрицательными членами – критерий безусловной устойчивости Гурвица для системы третьего порядка не выполнен, но может быть выполнен при некоторых частных значениях параметров системы.

2. Проведем анализ чувствительности:

3. Найдем ,для этого закоротим узлы на входе системы и выходах усилителей, получим следующую схему:

Рис. 8. Граф пассивной подсхемы.

Определитель будет равен:

Найдем добротность пассивной схемы по формуле:

Найдем добротность активной схемы.

С помощью критерия Гурвица было показано, что безусловная устойчивость системы не соблюдается, однако система может быть устойчива при некоторых значениях параметров систем. Из получившегося выражения видно, что система будет устойчивой, когда все ее слагаемые положительны, то есть для того, чтобы система была устойчивой, нужно, чтобы .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате проделанной работы была найдена передаточная функция заданной системы, проведена оценка безусловной устойчивости системы по критерии Гурвица. Критерий безусловной устойчивости Гурвица для системы третьего порядка не был выполнен, но может быть выполнен при некоторых частных значениях параметров системы – когда . Была проведена оценка чувствительности элементов заданной схемы, а также найдена добротность активной и пассивной подсхем.