2. Расчёт участка оболочки под уровнем жидкости

Рассмотрим участок оболочки (рис.1). Построим нормальное коническое сечение на расстоянии от полюса оболочки. Положение расчётного сечения определяется углом широты

2.1 Определим границы участка : .

2.2 Составляем уравнение равновесия внешних и внутренних сил в проекции на вертикальную ось для отсечённой части оболочки:

,

где - вес жидкости, заключённой в шаровом сегменте высотой ; - давление жидкости в расчётном сечении; - площадь поперечного сечения оболочки на уровне ; - радиус поперечного сечения оболочки на уровне .

2.3 Определяем составляющие уравнения равновесия:

Объём шарового сегмента:

,

где .

Вес жидкости: .

Давление жидкости на уровне от зеркала жидкости:

.

Площадь поперечного сечения

.

2.4 Подставим найденные значения в уравнение равновесия и определим меридиональное усилие :

.

2.5 Получим выражение для погонного кольцевого усилия из уравнения Лапласа при

R₁ = R₂ = R,

.

Результаты расчёта заносим в таблицу 2 при условии .

Таблица 2

№ точки	φ, град.	, кН/м	,кН/м
1	80	2,762	-2,762
2	72	2,933	-1,467
3	64	3,152	-0,285
4	56	3,393	0,781
5	48	3,638	1,728
6	40	3,869	2,546
7	32	4,074	3,229
8	24	4,244	3,769
9	16	4,370	4,159
10	8	4,448	4,395
11	0	4,475	4,475

По данным таблиц строим эпюры погонных усилий. Схема эпюры приведена на рис. 4.

С помощью эпюры определяем наиболее напряжённое сечение оболочки и максимальные усилия

.

3. Определение толщины стенки оболочки

3.1 Найдём допускаемое напряжение материала оболочки:

3.2 Определим толщину стенки:

,

Лабораторная работа № 3

Исследование напряженно-деформированного

состояния сферической оболочки, заполненной жидкостью

Условие задачи. Построить эпюры безмоментных напряжений для сферического сосуда (рис. 3.1), полностью заполненного жидкостью.

Постановка задачи. Оболочку представляют совокупностью двух полусфер. Расчетную схему для верхней и нижней полусферы рассматривают раздельно.

Исходные данные

Радиус оболочки – ;

Плотность жидкости – ;

Толщина стенки оболочки – .

Вывод расчетных зависимостей для верхней полусферы

Верхняя полусфера

В верхней полусфере отсекаем часть оболочки нормальным коническим сечением с углом при вершине конуса и составляем уравнение равновесия отсеченной части оболочки (рис. 3.2): ,

где – равнодействующая сил давления жидкости на стенку оболочки в проекции на вертикальную ось у.

Жидкость действует на стенку оболочки переменным давлением. Равнодействующую сил давления жидкости на вертикальную ось можно определить по формуле:

,

где – объем цилиндра;

– объем шарового сегмента (см. рис. 3.2).

Рис. 3.1. Расчетная схема сферической оболочки	Рис. 3.2. Расчетная схема верхней полусферы

Из уравнения равновесия находим меридиональные напряжения(при ϕ=20°):

Определяем кольцевое напряжение . Найдем его из уравнения Лапласа:

,

где – давление жидкости в расчетном сечении оболочки, .

.

Полученные значения для всей полусферы занесем в таблицу 3.1:

Таблица 3.1.

ϕ,град	σϕ, Па	σΘ, Па
0	0	0
10	1,423·10^4	4,283·10^4
20	5,603·10^4	1,704·10^5
30	1,228·10^5	3,804·10^5
40	2,099·10^5	6,686·10^5
50	3,111·10^5	1,03·10^6
60	4,173·10^5	1,46·10^6
70	5,168·10^5	1,954·10^6
80	5,937·10^5	2,51·10^6
90	6,259·10^5	3,129·10^6

Нижняя полусфера

Рассмотрим вывод расчетных зависимостей для нижней полусферы.

Рис. 3.3. Расчетная схема

для нижней полусферы

Получим для нижней полусферы выражения для напряжений . Отсекаем нормальным коническим сечением часть сферы (рис. 3.3).

Уравнение равновесия будет иметь вид:

,

где – реакция опоры, равная весу жидкости в объеме шара;

– гидростатическое давление жидкости;

– площадь поперечного сечения;

Отсюда имеем (при ϕ=80°):

.

Определяем для нижней части полусферы кольцевое напряжение , используя уравнение Лапласа:

,

где .

Отсюда:

.

Полученные значения внесем в таблицу 3.2:

Таблица 3.2

ϕ,град	σϕ, Па	σΘ, Па
0	-8,219*10^103(-∞)	8,219*10^103(+∞)
10	-7,929·10^7	8,674·10^7
20	-1,77·10^7	2,499·10^7
30	-6,382·10^6	1,339·10^7
40	-9,448·10^6	9,146·10^6
50	-2,89·10^5	6,991·10^6
60	-7,335·10^-10	5,633·10^6
70	4,033·10^5	4,636·10^6
80	5,802·10^5	3,827·10^6
90	6,259·10^5	3,129·10^6

Построим эпюру нагружения бака (Рис.3.4).

Выводы. В опорной точке сферы безмоментные напряжения обращаются в бесконечность. Это является следствием обращения в ноль площади сечения, по которой действуют напряжения . В реальных условиях сосредоточенных в точке сил не существует, и поэтому эта особенность имеет место лишь в расчётной схеме.

σ_ϕ, Па σ_Θ, Па

Рис.3.4. .Эпюра напряжений для сферической

оболочки, полностью заполненной жидкостью.

Лабораторная работа № 4