- •§ 11. Уравнение прямой линии на плоскости
- •1°. Векторное, параметрическое, общее и каноническое уравнение прямой в произвольной аффинной системе координат.
- •Доказательство.
- •3°. Прямая линия на плоскости с прямоугольной системой координат. Нормальное уравнение прямой.
- •Пример. .
- •§ 16. Уравнение плоскости в пространстве
- •1°. Различные виды уравнения на плоскости.
- •2°. Взаимное расположение плоскостей в пространстве. Полупространства.
- •3°. Плоскость в пространстве с прямоугольной декартовой системой координат.
- •§ 17. Уравнение прямой в пространстве
- •1°. Уравнение прямой в произвольной аффиновой системе координат.
- •2°. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.
Доказательство.
| Очевидно, а именно, если уравнение l3 задается (13), то она проходит через точку.
| Пусть l3 проходит через точку и имеет уравнение .
Возьмем на прямой l3 произвольную точку , отличную от точки . Положим . Покажем, что уравнение для l3 пропорционально (13) с выбранными .
Т.к. точка не может одновременно принадлежать прямым и хотя бы одно из и отлично от нуля. Поэтому уравнение является уравнением первой степени определяет некоторую прямую. По построению эта прямая проходит через точки , а так как через две точки плоскости проходит единственная прямая, то она совпадает с прямой . Поэтому в силу утверждения 1, уравнения этих прямых пропорциональны, ч.т.д.∎
Замечание. Уравнение (13) называется уравнением пучка прямых, проходящих через точку .
3°. Прямая линия на плоскости с прямоугольной системой координат. Нормальное уравнение прямой.
Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат , определяемая ортонормированным репером . Пусть прямые и задаются уравнениями (7), (8). Тогда угол между прямыми определяется углом между направляющими векторами и может быть вычислен по формуле
.
Отметим, что здесь используется глагол «определяется», так как угол между прямыми принимает значение на промежутке , угол между направляющими векторами – .
Получаем, что прямые (7), (8) в прямоугольной системе координат ортогональны (15)
Отметим, что только прямоугольной декартовой системе координат вектор является перпендикулярной к прямой
В дальнейшем построим нормальное уравнение на плоскости. В начале введем уравнение прямой в полярной системе координат. Пусть полярная ось совпадает с Ox и l1 – ось, проходящая через начало координат перпендикулярно прямой l.
y
N
l1
P
M
0 x
Рис.3.
Пусть прямая и пусть длина
,- угол между l1 и . Если т.М лежит на l1, то очевидно, что проекция
Последнее условие является необходимым и достаточным, для того, чтобы т. М.
или , (16)
где - расстояние от т. М до начала координат,
- угол между и .
Другими словами, - полярные координаты т. М. Таким образом, уравнение (16) является уравнением прямой в полярной системе координат. Уравнение (16) можно переписать:
,
где - координаты т. М в соответствующей прямоугольной декартовой системе координат.
Получаем: (17) – нормальное уравнение прямой на плоскости, где
- длина перпендикуляра, проведенного из начала координат на прямую,
- угол наклона нормали к оси абсцисс.
Отметим, что и - координаты ортонормали. Покажем, что общее уравнение прямой привели к нормальному виду.
Пусть прямая l : , тогда нормальное уравнение получается умножением на некоторый нормирующий множитель : при этом , знак выбирается из условия
Если С=0, то знак произвольный.
Нормальное уравнение прямой удобно для нахождения расстояния между от произвольной точки плоскости до прямой.
y
l1
M0 N
M P
x 0
Рис.4.
Произвольная точка .
,. Очевидно, что расстояние от до l:
Рис.4.
Таким образом, получили, что расстояние от точки до прямой вычисляется следующим образом: в левую часть нормального уравнения этой прямой необходимо подставить координаты т. и полученную величину взять по модулю.
Замечание. Из рисунка видно, что если т. и начало координат лежат по разные стороны от l, то . В первом случае: , во втором - .
Последнее может быть использовано, чтобы узнать лежит ли т. и начало координат по одну сторону или по разные от прямой l.